Теорема о существовании точных граней ограниченного множества
Теорема о существовании точных граней ограниченного множества |
Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань. |
w Пусть ограничено сверху, .
Обозначим В — множество чисел, ограничивающих сверху множество Х, (рис. 27). | Рис. 27 |
Если и , то из определения числа, ограничивающего множество сверху, следует, что и это верно для .
По свойству непрерывности множества заключаем, что существует число b, такое что выполняется неравенство для и для .
Но так как ограничивает Х сверху; так как для , то b является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих множество Х сверху.
Поэтому по определению точной верхней грани множества получается, что , ч. т. д.
Вторая часть теоремы доказывается аналогичным образом. v
Замечание (к понятию точных граней множества)
1. Для неограниченных сверху множеств часто записывают « », а для неограниченных снизу – « ».
2. Если , то обозначается , то есть если точная верхняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называется максимумом множества.
Аналогично, если , то обозначается , то есть если точная нижняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называется минимумом множества.
Пример 3 (определение максимума и минимума множества)
1) ;
2)
min A не существует;
3) max B и min B не существуют.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 385;