Упражнения для самостоятельной работы

Охарактеризуйте ограниченность следующих множеств и укажите их точные грани и экстремумы.

1. ; ; ; . 2. ; .

3. . 4. . 5. . 6. .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. A₁ — ограничено, ,
;
A₂ — ограничено, , т.е. max A₂ не существует;
, т.е. min A₂ не существует;
A₃ — ограничено, ,
;
A₄ — ограничено, ,
.

2. B₁ — неограниченное, т.к. неограниченное сверху, , ,

не существует;
B₂ — неограниченное, т.к. неограниченное сверху, , ,

и не существуют.

3. C — ограниченное, , .

4. D — неограниченное, так как не является ограниченным ни сверху, ни снизу,
, , и не существуют.

5. X — ограниченное, т. к. ; , т.е. max X не существует; .

6. Y — неограниченное, но ограниченное снизу, так как ;
, т.е. max Y не существует; .

Вопросы для самопроверки

Что называется длинами отрезков, стремящимися к нулю?

Сформулируйте теорему о пересечении вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

Что называется ограниченным сверху множеством?

Что называется числом, ограничивающим сверху множество X?

Что называется ограниченным снизу множеством?

Что называется числом, ограничивающим снизу множество X?

Что называется ограниченным множеством?

Что называется неограниченным сверху множеством?

Что называется неограниченным снизу множеством?

Что называется неограниченным множеством?

Что называется точной верхней гранью множества?

Что называется точной нижней гранью множества?

Что такое формальное определение точных граней множества?

Сформулируйте теорему о существовании точных граней ограниченного множества.

Что называется максимумом множества?

Что называется минимумом множества?

Глоссарий

длинами отрезков, стремящимися к нулю называется…(стр. 34)

ограниченным сверху множеством называется…(стр. 40)

числом, ограничивающим сверху множество X называется…(стр. 40)

ограниченным снизу множеством называется…(стр. 40)

числом, ограничивающим снизу множество X называется…(стр. 40)

ограниченным множеством называется…(стр. 40)

неограниченным сверху множеством называется…(стр. 41)

неограниченным снизу множеством называется…(стр. 41)

неограниченным множеством называется…(стр. 41)

точной верхней гранью множества называется…(стр. 42)

точной нижней гранью множества называется…(стр. 42)

формальное определение точных граней множества это…(стр. 43)

максимумом множества это…(стр. 44)

минимумом множества это…(стр. 44)