Примеры решения задач на ограниченность множеств
Дано множество точек на координатной прямой. Требуется охарактеризовать его ограниченность, указать точные грани и экстремумы множества.
а) ; б)
.
Решение
а) Записываем элементы множества и изображаем их точками на координатной оси:
![]() | ![]() ![]() |
Описываем ограниченность множества , пользуясь определениями данного параграфа:
– ограничено сверху, т.к. существуют числа такие, что для
выполняется неравенство
;
– не ограничено снизу, т.к. для найдется
такой, что
;
– неограниченное множество, т.к. не ограничено снизу;
– точная верхняя грань , т.к. число 3 является наименьшим из всех чисел
, ограничивающих множество
сверху;
– точная нижняя грань – не существует, или
, т.к. множество
не ограничено снизу;
– максимум множества , т.к. 3 – это точная верхняя грань множества
и она принадлежит
;
– минимум множества – не существует, т.к. нет точной нижней грани, следовательно, она не может принадлежать
.
б) Решаем неравенство, определяющее множество , и изображаем множество
точками на координатной оси:
;
знаки дроби определяем методом интервалов:
![]() ![]() | ![]() ![]() |
Теперь описываем ограниченность множества :
– ограниченное сверху, т.к. существуют числа такие, что
для
;
– ограниченное снизу, т.к. существуют числа такие, что
для
;
– ограниченное, т.к. ограничено сверху и ограничено снизу;
– , т.к. число 0 является наименьшим из всех чисел
, ограничивающих множество
сверху;
– , т.к. число –2 является наибольшим из всех чисел
, ограничивающих множество
снизу;
– не существует, т.к. число
не принадлежит
;
– , т.к. число
принадлежит
.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 363;