ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

1. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций аргумента t универсальной тригонометрической подстановкой При этом используются соотношения:

Пример. Найдите неопределённый интеграл

Полагаем , тогда

2. Если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух тригонометрических функций с разными аргументами, то для вычисления интеграла используют формулы, позволяющие преобразовать произведение в сумму:

Пример.Найдите неопределённый интеграл .

Решение. Применяем правило 2; разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой, затем интегрируем:

3а. Если подынтегральное выражение имеет вид: sin^mxcosⁿx, причем одна из степеней нечетная, тогда нечетную степень преобразовывают к виду 2l+1, выделяя первую степень и делая соответствующую замену. Например: пусть нечетной является степень m, тогда имеем: m=2l+1. Sin^mx=sin^2l+1x=sin^2lxsinx. Интеграл примет вид: .

Таким образом получим: sinxdx=-dcosx и с учетом основного тригонометрического тождества наш интеграл преобразуется к виду: . Далее, возводя в степень и раскрывая скобки, мы получим интеграл от степенных функций, где переменной интегрирования будет cosx.