Определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Чем больше , тем лучше приближение. Точное равенство получается в пределе при :

.

Предел суммы в правой части равенства называют определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначают . Таким образом, независимо от геометрического смысла, определение определенного интеграла будет

. (3)

доказывается, что предел в правой части выражения (3) существует для любой функции , непрерывной на интервале и не зависит от расположения точек и .

Необходимость специального рассмотрения пределов вида (3) вызвана тем, что такие пределы встречаются во многих задачах, в том числе в задачах прикладного характера. Сходство обозначений определенного и неопределенного интегралов не случайно и будет выяснено в дальнейшем.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то функция дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем .

Другим следствием доказанной теоремы является формула Ньютона - Лейбница:

если функция непрерывна на интервале , то

, (4)

где – первообразная функции .

Формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом и дает мощное средство вычисления определенных интегралов. Например, функция имеет первообразную (находим ее из неопределенного интеграла) и поэтому .

При применении формулы Ньютона - Лейбница следует проверять подынтегральную функцию на непрерывность в интервале интегрирования. В противном случае возможен неверный результат. Например, результат вычисления интеграла неверен по причине разрыва функции в точке .