Свойства определенного интеграла.
Из определения определенного интеграла вытекают следующие его свойства:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. Если , то ;
6. ;
7. Если и – наименьшее и наибольшее значения функции на интервале , то
;
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
Вычисление определенного интеграла сводится к нахождению неопределенного интеграла и дальнейшим вычислениям с пределами интегрирования.
Формула интегрирования по частям принимает вид
.
Пример. Вычислить .
Положим . Тогда . По формуле получим
.
Формула замены переменной приобретает вид
;
где и .
При применении формулы изменение пределов интегрирования делает ненужным возврат к старой переменной. Заметим, что функция отображает интервал на интервал . Непременным условием является дифференцируемость функции на интервале , а также ее монотонность на этом интервале.
Пример. Вычислить .
Воспользуемся тригонометрической подстановкой , . Функция дифференцируема и монотонна внутри интервала , причем . Значит пределы интегрирования переменной будут и . Используя формулу (7), получим
.
Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1653;