МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

Этот метод получается из правила дифференцирования произведения . Находя интеграл от производной произведения, получим

,

откуда приходим к формуле интегрирования по частям

.

Значение формулы (2) состоит в том, что интеграл в правой части формулы может оказаться проще исходного.

Примеры.

Найти .

Допустим, что . Тогда . После подстановки в формулу (2) получим

.

Найти .

Пусть , тогда . По формуле (2) имеем

.

При повторном применении формулы интегрирования по частям получим

.

Разрешая данное уравнение относительно искомого интеграла, приходим к результату

.

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

1) 2) 3) 4)

Интегралы 1), 2) сводятся к табличным путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Интегралы 3), 4) сводятся к 1), 2) путем выделения из числителя производной квадратного трехчлена.

Пример. Найти неопределённый интеграл

Выделив из квадрата трёхчлена полный квадрат x²+4x+5=x²+4x+4+1=(x+2)²+1, записав d(x+2) вместо dx, получим:

Пример.Найти неопределённый интеграл .

= .