Декартово произведение

Декартово произведение множеств А и В обозначают Ах В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:

А х В= {(х;у) |х А и у В}.

З а д а ч а 1. Найдите декартово произведение множеств А и В, если:

a)A = {m;p},B={e,f,k};

б)А=В={3,5}.

Решение. а) Действуем согласно определению- образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая - из В:

А х В= {( m; е), (m; f), (m; k), (p; e), (p;f), (p; к)}.

б) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества:

А х А={(3;3), (3;5), (5;3), (5;5)}

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением. Выясним, какими свойствами обладает эта операция. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств А и В свойством коммутативности не обладает. Можно доказать, что для декартова умножения не выполняется и свойство ассоциативности. Но декартово произведение дистрибутивно относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А В) х С = (А х С) (В х С),

(А \ В) х С = (А х В) \ (В х С).

З а д а ч а 2. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова умножения относительно объединения, если:

А = {3; 4; 5}, В ={5; 7}, С ={7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: А В = {3,4,5,7}. Далее перечислим элементы множества (А В) х С, используя определение декартова произведения: (А В) х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (А х С) (В х С), перечислим сначала элементы множеств А х С и В х С:

А х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В х С={(5;7),(5;8),(7;7),(7;8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений: (А х С) (В х С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (А В) х С и (А х С) (В х С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (А В) х С = = (А х С) (В х С).

Выясним теперь, как можно наглядно представлять декартово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке 17(а, б).

В А
	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,3)
	(3,3)	(3,3)

б) Рис. 17

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение А хВ множеств А = {1, 2, 3} и В = = (3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке 18.

у

5

3

0 1 2 3 х Рис.18

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В - на оси Оу.

Такой способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение Ах В, если:

а) А = {1,2,3},В = [3,5];

б) А = [1,3], В = [3,5];

в) A = R, В = [3,5];

г) А = R, В = R.

Р е ш е н и е, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества нар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая-любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками (рис. 19).

у

5

3

0 1 2 3 х Рис. 19

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой пары, принадлежащей множеству Ах В, может быть любое число из промежутка [1,3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат (рис. 20).

у

5

3

0 1 2 3 х Рис. 20

Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А х В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3,5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 21).

у

5

0 х Рис. 21

г) Декартово произведение R x R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R x R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367- это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» - это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа - это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) - это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) - это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще и множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств A₁, А₂,..., А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству A₁, вторая - множеству А₂,..., n-я - множеству An.