Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие параллельности двух векторов

Определение. Упорядоченная тройка векторов называется право ориентированной, если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, и лево ориентированной, если по часовой:

Определение. Векторным произведением векторов и в Е³ называется вектор , , , удовлетворяющий условиям:

1) .

2) , ,

3) векторы , , образуют правую тройку векторов.

Ясно, что численно равен площади S_ÿ параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.

Свойства векторного произведения:

1°. .

2°. .

3°. .

4°. . (26)

5°. .

6°. .

7°. .

Эти свойства следуют из определения векторного произведения.

Составим таблицу векторного умножения ортов :

, , ,

, , , (27)

, ,

Пусть даны два вектора

и .

Пользуясь свойствами (26) векторного произведения и таблицей (27), найдем векторное произведение , перемножая их как многочлены:

т.е. имеем

(28)

- запись векторного произведения в форме определителя третьего порядка.

Пусть в прямоугольной д.с.к. даны три точки , и . Найдем S_ÿАВСД и S_DАВС.

S_ÿАВСД, но

S_ÿАВСД = . (29)

Поэтому

. (30)

Имеем

,

.

Отсюда и из (28) будем иметь

Следовательно,

S_ÿАВСД =

§ 4. Смешанное произведение векторов, его свойства. Объем параллелепипеда и пирамиды. Условие компланарности трех векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число .

Здесь векторы и перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор . Поэтому смешанное произведение называют еще векторно-скалярным.

Построим параллелепипед на векторах , , и вектор , =S_ÿ . Имеем S_ÿ , где - объем параллелепипеда, образованного векторами , , , который берется со знаком +, если векторы , , образуют правую тройку векторов, и со знаком -1, если они образуют левую тройку векторов. Во всех случаях

. (31)

Если векторы , , компланарны, то , и поэтому . Отсюда и из (31) получаем

(32)

- условие компланарности трех векторов.

Пусть в прямоугольной д.с.к. даны векторы , и :

,

,

.

Найдем их смешанное произведение, используя формулы (28) для векторного и (18) скалярного произведений векторов:

Таким образом,

. (33)

Из (33) и свойств определителя получаем свойства смешанного произведения:

1) ;

2) .

Из (32) и (33) получаем условие компланарности трех векторов в координатной форме

. (34)

На основании (33) находим формулу для вычисления объёма пирамиды

.