Свойства пересечения и объединения множеств
Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняют и другие операции, например умножение, вычитание, деление; при этом результат умножения чисел называют произведением, деления - частным, т.е. для операций над числами и результатов этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами ситуация иная: операции, при помощи которых находят пересечение и объединение множеств, называются соответственно пересечением и объединением.
Из школьного курса математики нам также известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и Ь справедливо равенство а + b = b + а, а для любых чисел a, b и с - равенство (а + b)+ с = а + b+ с).
Аналогичными свойствами обладает умножение действительных чисел. Кроме того, для сложения и умножения выполняется распределительное свойство: для любых действительных чисел а, b и с справедливо равенство: (а+b) · с = а · с + b ·с.
Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.
Если обратиться к определениям пересечения и объединения множеств, то можно увидеть, что в них не фиксируется порядок оперирования множествами. Например, выполняя объединение, можно к элементам одного множества присоединить элементы другого, а можно поступить наоборот: к элементам второго множества присоединить элементы первого. (При этом надо только помнить, что в новом множестве не должно быть повторяющихся элементов.) Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняется пересечение множеств. Это означает, что пересечение и объединение множеств обладают переместительным, или, как говорят в математике, коммутативным свойством: для любых множеств А и В выполняются равенства: А В = В
A и A
B = B
A.
Пересечение и объединение множеств обладают также сочетательным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
(А В)
С = А
(В
С и (А
В)
С = А
(В
С).
Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в записях операций над числами.
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов (рис. 9).
В выражении (А В)
С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке 9а вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество (А
В)
С.
Представим теперь наглядно множество А (В
С). В соответствии с указанным порядком действий сначала
надо найти пересечение множеств В и С - на рисунке 96 оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А (В
С).
Видим, что области, представляющие на рисунке 9 множества (А В)
С и А
(В
С), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
В чем важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств? Во-первых, можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делать для двух. Во-вторых, на основании этого свойства в выражениях А (В
С), (А
В)
С, А
(В
С), (А
В)
С можно опускать скобки и писать А
В
С или А
В
С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А,В и С справедливо равенство (А B)
C = А
(B
С).
Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться в том, что каждый элемент множества (А В)
С содержится в множестве А
(В
С), и наоборот.
1. Пусть х - любой элемент множества (А В)
С. Тогда, по определению объединения, х
А
В или х
С.
Если х А
В, то, по определению объединения, х
А или х
В. В том случае, когда х
А, то, также по определению объединения, х
А
(В
С).
Если х В, то имеем, что х
В
С, а значит, х
А
(В
С). Случай, когда х
А и х
В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х
А
В, следует, что х
А
(В
С).
Если х С, то, по определению объединения, х
В
С, и следовательно, х
А
(В
С).
Случай, когда х А
В и х
С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества (А В)
С содержится и в множестве А
(В
С), т.е. (А
В)
С
А
(В
С).
2. Пусть y - любой элемент множества А (В
С). Тогда, по определению объединения, у
А или у
В
С.
Если y А, то, по определению объединения, у
А
В и, следовательно, у
А и
(В
С).
Если y В
С, то у
В или у
C. B том случае, когда у
В, то у
А
В и, значит, у
(А
В) и С. Когда же у
С, то у
(А
B)
C. Случай, когда у
В и у
С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества А (B
С) содержится в множестве (A
В)
С, т.е. А
(В
С)
(А
В)
С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что (А В)
С = А
(В
С), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В к С выполняется равенство
(А В)
С = (А
С)
(В
С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство
(А В)
С = (А
С)
(В
С).
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение. В связи со сказанным запись дистрибутивного свойства пересечения относительно объединения можно упростить, опустив скобки в правой части равенства.
Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, которое аналогично доказательству свойства ассоциативности объединения.
Проиллюстрировать свойства дистрибутивности можно, используя круги Эйлера.
Если провести аналогию с действиями над числами, то можно увидеть, что дистрибутивное свойство пересечения относительно объединения сопоставимо с распределительным свойством умножения относительно сложения, при условии, что в качестве операции, аналогичной пересечению, рассматривать умножение, а для объединения - сложение.
Но для дистрибутивного свойства объединения множеств относительно пересечения аналогичного свойства над числами нет.
Действительно, наличие такого свойства означало бы, что для всех чисел выполняется равенство а • b + с = (а + с) • (b + с), что невозможно. Подмеченное отличие говорит о том, что наряду с тем, что пересечение и объединение множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел, операции над множествами обладают свойствами, которых нет у операций над числами.
Завершая рассмотрение свойств пересечения и объединения множеств, отметим еще следующее.
Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:
А1 А2
...
Аn = {х | х
А1 и х
А2 и... и х
Аn},
А1 А2
...
Аn = {х | х
А1 или х
А2 или ... или х
Аn},
Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.