Векторное произведение векторов
Если с заданием трёх векторов указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим, то говорят, что задана упорядоченная тройка векторов.
Упорядоченная тройка векторов и
называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора (рис.28). В противном случае тройка векторов называется левой.
![]() | |||
![]() | |||
правая
левая
тройка тройка
Рис.28
Векторным произведением двух векторов и
называется вектор
, обозначаемый символом
или
который определяется следующими тремя условиями:
1. Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов
и
на синус угла между ними:
(4.26)
где угол между векторами
и
.
2. Вектор =
перпендикулярен к каждому из векторов
и
, т.е.
.
3. Вектор направлен таким образом, чтобы смотря в направлении от конца вектора
на плоскость векторов
и
кратчайший поворот от
к
был виден против хода часовой стрелки.
Свойства векторного произведения:
1. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет свой знак:
2. Векторное произведение подчиняется распределительному закону:
3. Векторное произведение подчиняется сочетательному закону по отношению к скалярному множителю:
.
4. Если векторы и
коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.
5. Векторные произведения ортов
,
6. Модуль векторного произведения двух векторов и
равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
Из этой формулы имеем:
Данные формулы выражают геометрический смысл векторного произведения векторов.
Пример. Известно, что . Требуется найти: а)
б)
.
Решение. а) По формуле (4.26) имеем:
.
б) Используя свойства векторного произведения, будем иметь:
Поэтому,
.
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 1207;