Понятие множества и элемента множества

В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют множествами.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множе­стве гласных букв русского алфавита, о множестве натураль­ных чисел, о множестве треугольников.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связыва­ют с большим числом предметов. В математике этого не требу­ется. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из од­ного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Множества принято обозначать прописными буквами ла­тинского алфавита: А, В, С,..., Z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается символом Ø.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными бук­вами латинского алфавита: а, b, с,.... z.

В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не при­надлежит. Например, мы говорим, что 5 - число натуральное, а 0,75 не является натуральным числом. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натураль­ных чисел, а число 0,75 ему не принадлежит. Чтобы записать эти утверждения, вводятся символы и . Предложение «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, ис­пользуя символы – а А. Предложение «Объект а не принад­лежит множеству А» можно записать так: а А.

Например, если А - множество однозначных чисел, то ут­верждение «Число 3 - однозначное» можно записать в таком виде: 3 А. Запись 12 А означает, что «Число 12 не является однозначным», или «Число 12 не принадлежит множеству А», или «Множество А не содержит числа 12».

Заметим, что в геометрии, которая возникла значительно раньше теории множеств, если точка является элементом ка­кого-либо множества, то ее обозначают заглавной буквой. Например, если Х - множество точек отрезка АВ, то предло­жение «Точка Р лежит на отрезке АВ» можно записать: Р X или Р АВ.

Множества бывают конечные и бесконечные. Эти понятия мы принимаем без определения. Поясним их на примерах. Так, конечными являются множество дней недели, множество месяцев в году, а бесконечными - множество точек на прямой, множество натуральных чисел.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стан­дартные обозначения:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.