Особенности расчета статически неопределимых систем

Ранее было показано [1], [2], что в результате кинематического анализа для статически определимых стержневых конструкций степень свободы W = 0. Поэтому для определения опорных реакций и внутренних усилий достаточно уравнений равновесия статики. У статически неопределимых систем W < 0, то есть число наложенных связей больше числа возможных уравнений статики. При вычислении степени свободы W в рамах необходимо помнить, что каждый замкнутый контур также дает три лишние связи. У балки, показанной на рисунке 1.1, а две избыточные в вышеуказанном смысле, «лишние» связи, а у двухэтажной рамы (рисунок 1.1, б) W = - 6. Здесь три лишние связи в опорах и три лишние связи дает замкнутый контур второго этажа.

Статически неопределимые системы имеют большое применение, поскольку они обладают большей жесткостью по сравнению со статически определимыми системами, а распределение внутренних усилий приводит к оптимальному поперечному сечению. Это можно проиллюстрировать на примере консольной балки, нагруженной силой Р, которая в одном случае не имеет дополнительной опоры, а в другом опора имеется (рисунок 1.2).

Как видно из приведенных эпюр изгибающих моментов, наличие дополнительной опоры позволяет снизить максимальный внутренний изгибающий момент с 0,5Pl до 0,19P, т.е. более чем в два раза. Следует отметить, что такой большой эффект достигается не всегда и сопряжен с устройством дополнительной связи (опоры). В отличие от статически определимых систем, напряжённо-деформированное состояние (НДС) статически неопределимых систем зависит от: соотношения жесткостей элементов расчётной схемы, изменения внешней температуры, смещения опор.

При расчете статически неопределимых систем в качестве дополнительных выступают геометрические уравнения, или уравнения совместности деформаций. Различают два основных метода составления этих уравнений совместности деформаций:

– метод сил, когда основными неизвестными выступают усилия в лишних связях;

– метод перемещений, где за неизвестные принимают угловые и линейные перемещения незакрепленных узлов и физический смысл уравнений совместности – равенство нулю реакций в наложенных связях.

В реальных конструкциях число лишних связей может достигать нескольких сотен и тысяч. Расчет таких конструкций проводится на компьютере с использованием специальных программ.