Определители и их вычисления

Линейная алгебра

Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

, (6.1.1)

где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер столбца, на пересечении которых находится элемент . В другой записи (1) имеет вид

. (6.1.2)

Если m=n, то матрица (1) называется квадратной.

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка

. (6.1.3)

Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице (3), называется число, обозначаемое и определяющееся по следующему правилу:

. (6.1.4)

Пример6.1.1. .

Определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной матрице A третьего порядка , (6.1.5)

называется число, обозначаемое и определяющееся по следующему правилу:

. (6.1.6)

Возьмем определитель 4-го порядка

(6.1.7)

и рассмотрим, например, его элемент . Мысленно зачеркнем третью строку и первый столбец, на пересечении которых находится этот элемент. Тем самым из оставшихся элементов образуем число

(6.1.8)

которое называется алгебраическим дополнением элемента . Определитель

, (6.1.9)

называется минором элемента . Таким образом, .

Определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца.

Например, или .

Разложение удобно вести по строке (столбцу), где больше нулей.

Квадратная матрица A называется невырожденной (вырожденной), если ее определитель ( ).

Матрица называется обратной к матрице A, если , где E –единичная квадратная матрица.

. (6.1.10)

Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.