Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса
Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
(6.1.11.)
Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (2.1) вместо и подставить соответственно и , то получим три верных равенства (три тождества).
(6.1.12)
- основная матрица системы (2.1)
(6.1.13)
- расширенная матрица (2.1)
; ; (6.1.14)
система (2.1) может быть записана в матричном виде так:
AX=D (6.1.15)
X – неизвестная матрица-столбец. Введем вспомогательные определители:
Предполагая, что матрица A - невырожденная и умножая (2.5) слева и почленно на A-1, получим
–(6.1.16) матричный способ решения системы.
Используя понятие равенства двух матриц, получим
(6.1.17)
(6.1.18)
(6.1.19)
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
- Перестановка местами произвольных двух строк (столбцов).
- Умножение строки (столбца) на отличное от нуля число.
- Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.
Пример 6. 1.2. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат.
Обратную матрицу находим по формуле .
Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника:
Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Составляем матрицу из алгебраических дополнений ( ) и транспонируем ее.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Выполним проверку:
· =
.
·
Получим: A-1×A=A×A-1=E. Следовательно, обратная матрица найдена верно.
Ответ: .
Пример 6.1.3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
.
Решение:
Найдем главный определитель системы
Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение.
Найдем вспомогательные определители:
Неизвестные находим по формулам Крамера:
; .
Ответ: .
Пример 6.1.4.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
.
Решение.
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).
.
Ответ: .
Пример 6.1.5. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса .
Решение.
Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0;0;0;0), поэтому нас интересуют другие решения системы.
Применяем метод Гаусса:
.
Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3x4 и 3x5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца: , так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Следовательно, ранги основной и расширенной матриц равны 3. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна. Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=4, то она имеет бесчисленное множество решений. Закрепленных (базисных) переменных будет 3 (так как r=3), свободных переменных будет (n-r=4-3=1) одна. Минор, который мы составили выше, называется базисным, а переменные, входящие в него, базисными. Следовательно, - базисные переменные, а - свободная, то есть . Выполним обратный ход метода Гаусса:
.
Решением системы будет множество четверок чисел , где .
Например, (0;2;2;0), (0;-1;-1;0), - решения системы.
Ответ: .
Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.
Пример 6. 1.6. Даны координаты векторов и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
; ; ; ; .
Решение.
Если векторы образуют базис, то существует разложение вектора в этом базисе , то есть
.
Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора в базисе означает решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными . Эта система будет иметь единственное решение, если ее основной определитель будет отличен от нуля.
Решаем методом Гаусса:
Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали , видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы независимы и образуют базис.
Найдем координаты вектора b в этом базисе
.
Следовательно, или b=(5;0;-1;2) в базисе .
Ответ: .
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3677;