Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
(6.2.19)
причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств
,
чтобы эти плоскости пересекались.
Другой способ задания прямой:
(6.2.20)
каноническими уравнениями, где М0(x0,у0,z0) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1,т,п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол междупрямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых.
Из (6.2.20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М1{x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2)
(6.2.21)
и параметрические уравнения прямой:
.(6.2.22)
Если прямая задана уравнениями (6.2.19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х0и отыскивая соответствующие у0и z0из системы (6.2.19), и получить направляющий вектор прямой
Если прямая задана уравнениями (6.2.20), а плоскость общим уравнением (6.2.14), то условие параллельности прямой и плоскости
Аl + Вт+Сп = 0, (6.2.23)
а условие перпендикулярности
.
Пример 6.2.4. Привести уравнение прямой
к каноническому виду.
Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид
.
Отсюда y=-2, . Получим точку Мо(0;-2; )Найдем направляющий вектор
Канонические уравнения прямой
Пример 6.2.5. Составить уравнения движения точки M(x,y,z), которая имеет начальное положение Мо(1;-2;4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , .
Решение. Тогда . Искомые уравнения будут
Пример 6.2.5. Найти расстояние точки М0(1;2;0) от прямой
Решение. Проведем через точку Моплоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М1 - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от Мо до М1. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М0(1;2;0) на ней лежащая и нормальным вектором может служитьнаправляющий вектор прямой а= {2,5,1}. Получим
2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0 ,
или
2x + 5y + z-12 = 0.
Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой:
Исключая x,y,z, найдем t=-0,5. Тогда х=1,y=1,5,z=2,5. Точка М1(1;1,5;2,5). Расстояние М0М1:
(лин.ед.).
Пример 6.2.6. Найти угол между прямой
и плоскостью
х + 2у - 3z - 1 = 0.
Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1;2;-3} и направляющий вектор прямой = {2;3;5}. Косинус угла между этимивекторами равен синусу угла между прямой и плоскостью:
,
.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1562;