Дифференциальные исчисления функций одной переменной
Основные формулы:
Производная от функции у=f(х) по аргументу х
или (6.3.4)
Формулы дифференцирования основных функций:
1.(хm)'=mxm–1. | 11.(ctg x)'=–cosec2x. |
2. | 12. (arcsin x)'= |
3. | 13.(arccos x)'= |
4. (ex)'=ех. | 14. (arctg x)'= |
5. (аx)'=ахln a. | 15. (arcсtg x)'= – |
6. | 16.(sh x)'= =ch x. |
7. | 17. (ch x)'= =sh x. |
8. (sin x)'=cos x. | 18. (th x)'= |
9. (cos x)'=–sin x. | 19. (cthx)'= |
10. (tgx)'=sec2x. |
Основные правила дифференцирования
Пусть С–постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда:
1) С'=0; 2) х'=1; 3) (u'±v')= u'±v'; 4) (Сu)'=Сu'; 5) (uv)'=u'v+ uv';
6) ; 7) если y=f(x), u=u(x), т.е. у=f[u(x)], то
у'х= у'u∙ u'х.
Дифференцирование функций заданных параметрически: х=φ (t), y=ψ(t).
(6.3.5.)
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке М0(х0;у0): у–y0=y'0(х–х0).
Уравнение нормали: у–y0= (х–х0).
Угол между двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х) в точке их пересечения М0(х0;у0)
(6.3.6.)
Производная n-го порядка от функции у=f(x): у(n)=(у(n–1))', обозначение: у(n), f(n) (x), .
Дифференциалы высших порядков: dy=y'dx.
Основные свойства дифференциала:
1. dC=0, где С=const.
2. d(Cu)=Cdu.
3. d(u±v)=du±dv.
4. d(uv)=udv+vdu.
5.
6. df(u)=f'(u)du.
Дифференциал n-го порядка: dny=d(dn–1y).
Теорема Лагранжа . (6.3.7.)
Теорема Коши . (6.3.8.)
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0, ∞/∞:
(6.3.9)
Пример 6.3.2.у=(sinx)tgx.
Решение.
Имеем ln у=tgx∙lnsinx, откуда
Пример 6.3.3.
Решение.
Здесь заданную функцию следует предварительно прологарифмировать:
ln y=3 ln (2x-1) + ln (3x+2)-2ln(5x+4) - ln(1-x);
Пример 6.3.4.Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у=(2х–3)3.
Решение.
dy=3(2x–3)2∙2dx=6(2x–3)2dx,
d2y=12(2x–3)2∙2dx2=24(2x–3)dx2,
d3y=24∙2dx3=48dx3.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1547;