Дифференциальные исчисления функций одной переменной


Основные формулы:

Производная от функции у=f(х) по аргументу х

или (6.3.4)

 

Формулы дифференцирования основных функций:

 

1.(хm)'=mxm–1. 11.(ctg x)'=–cosec2x.
2. 12. (arcsin x)'=
3. 13.(arccos x)'=
4. (ex)'=ех. 14. (arctg x)'=
5. (аx)'=ахln a. 15. (arcсtg x)'= –
6. 16.(sh x)'= =ch x.
7. 17. (ch x)'= =sh x.
8. (sin x)'=cos x. 18. (th x)'=
9. (cos x)'=–sin x. 19. (cthx)'=
10. (tgx)'=sec2x.  

 

Основные правила дифференцирования

 

Пусть С–постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда:

1) С'=0; 2) х'=1; 3) (u'±v')= u'±v'; 4) (Сu)'=Сu'; 5) (uv)'=u'v+ uv';

6) ; 7) если y=f(x), u=u(x), т.е. у=f[u(x)], то

у'х= у'u∙ u'х.

Дифференцирование функций заданных параметрически: х=φ (t), y=ψ(t).

(6.3.5.)

Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке М000): у–y0=y'0(х–х0).

Уравнение нормали: у–y0= (х–х0).

Угол между двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х) в точке их пересечения М000)

 

(6.3.6.)

Производная n-го порядка от функции у=f(x): у(n)=(у(n–1))', обозначение: у(n), f(n) (x), .

Дифференциалы высших порядков: dy=y'dx.

Основные свойства дифференциала:

1. dC=0, где С=const.

2. d(Cu)=Cdu.

3. d(u±v)=du±dv.

4. d(uv)=udv+vdu.

5.

6. df(u)=f'(u)du.

 

Дифференциал n-го порядка: dny=d(dn–1y).

 

Теорема Лагранжа . (6.3.7.)

 

Теорема Коши . (6.3.8.)

 

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0, ∞/∞:

(6.3.9)

Пример 6.3.2.у=(sinx)­tgx.

Решение.

Имеем ln у=tgx∙lnsinx, откуда

 

 

Пример 6.3.3.

Решение.

Здесь заданную функцию следует предварительно прологарифмировать:

ln y=3 ln (2x-1) + ln (3x+2)-2ln(5x+4) - ln(1-x);

 

Пример 6.3.4.Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у=(2х–3)3.

 

Решение.

dy=3(2x–3)2∙2dx=6(2x–3)2dx,

d2y=12(2x–3)2∙2dx2=24(2x–3)dx2,

d3y=24∙2dx3=48dx3.

 

 



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1440;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.