Каноническое уравнение параболы.

Парабола – геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояния до некоторой прямой (директрисой) и до фиксированной точки (фокуса) равны (рис. 2.32).

Рис. 2. 32

Итак, согласно определению имеем

Рационализируя это уравнение, получим каноническое уравнение параболы в виде

где называется параметром параболы.

Пример 2.27.Написать уравнение параболы, если она симметрична относительно оси , проходит через точку и вершина совпадает с началом координатной системы.

Решение.Так как точка принадлежит параболе, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы Подставляя координаты точки в уравнение параболы, получим

Тогда уравнение параболы будет иметь вид

Ответ:

Задачи с ответами.

2.7.1. Найти решение линейной неоднородной системы по правилам Крамера

Ответ:

2.7.2. Даны векторы и . Найти их скалярное произведение

Ответ:

2.7.3. С помощью векторного произведения найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы

Ответ:

2.7.4. Вычислить смешанное произведение

Ответ:

2.7.5. Даны координаты начала и конца отрезка Где строить универсам между и (точка ), чтобы суммарная длина пути была одинакова для жителей обоих микрорайонов и в случаях: 1. Населения микрорайонов одинаковы. 2. Население микрорайона с центром в в раз больше населения микрорайона с центром в .

Ответ: 1. 2.

2.7.6. Предприятие предусматривает выпустить продукции трех видов в количестве единиц, которые принесут прибыль в 40, 60, 80 рублей с единицы. 1. Определить так, чтобы прибыль предприятия равнялась 600 рублям. 2. Предполагая, что при изменении технологии прибыль на единицу продукции изменится и составит соответственно 20, 50, 70 рублей с единицы, определить производственные программы, дающие при разных технологиях одинаковую прибыль, равную 600 рублям.

Ответ:1. 2.

2.7.7. На предприятии постоянные общие издержки производства составляют 4000 рублей, а переменные издержки на единицу продукции – 500 рублей. Определить себестоимость одной единицы продукции как функцию объема производства

Ответ:

2.7.8. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением:

Ответ: и и ;

2.7.9. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет

Ответ:

2.7.10. Определить точки пересечения эллипса и параболы

Ответ: и