Различные виды уравнений прямой в пространстве.
1. Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и (рис. 2.23). То есть, общие уравнения прямой в пространстве можно представить в виде
(2.67)
При решении многих задач удобно пользоваться так называемыми каноническими уравнениями прямой в пространстве. В эти уравнения входят такие величины, как координаты направляющего вектора (параллельный вектор прямой в пространстве) и координаты точки , принадлежащей прямой Если на прямой взять точку с текущими координатами (точка , то очевидно, что векторы и (рис. 2.23) коллинеарны, то есть (см. § 2.2)
(2.68)
(2.68) и есть канонические уравнения прямой в пространстве. Заметим, что, например, если то имеем
Метод приведения общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду покажем на примере экономического характера.
Пример 2.18.Предприятие выпускает трех видов продукции в количестве единиц. При применении первой технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 20, 50, 30 руб. с единицы. При применении второй технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 15, 40, 60 руб. с единицы. Определить производственные программы предприятия, дающие при разных технологиях одинаковую прибыль, равную 300 руб.
Решение.Из условий задачи имеем
(2.69)
Как видно из (2.69), задача экономического характера математически сводится к общим уравнениям прямой в пространстве. Приведем эти уравнения к каноническому виду. Так как то можно дать произвольное значение, например, Тогда из (2.69) получим
То есть нашли точку которая принадлежит прямой в пространстве. Далее заметим, что направляющий вектор равен
Тогда согласно (2.68) получим
Ответ: должны удовлетворять уравнениям
Отметим, что из канонических уравнений прямой в пространстве (2.68) можно получить параметрические уравнения прямой в пространстве. Для этого в канонические уравнения включим параметр следующим образом
или
(2.70)
Уравнения (2.70) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Пример 2.19.Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и через прямую :
Решение.Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид
(2.71)
где пока неизвестные числа. Основываясь на условия задачи, для неизвестных выраженные через получим следующие три уравнения.
1. Плоскость проходит через точку . То есть имеет место уравнение
2. то есть Последнее означает, что имеем уравнение
3. , то есть
Итак, получили следующие три линейных уравнения относительно неизвестных
Решая систему по правилам Крамера, получим:
(2.72)
Подставляя (2.72) в (2.71) и поделив обе части уравнения на получим
Ответ:
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 333;