ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА-ХУАНГА.

Введение

Под преобразованием Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang transform – HHT) понимается эмпирический метод декомпозиции (EMD) нелинейных и нестационарных процессов и Гильбертов спектральный анализ (HSA). HHT представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует априорного функционального базиса. Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания EMD. Мгновенные частоты вычисляются от производных фазовых функций Гильбертовым преобразованием функций базиса. Заключительный результат представляется в частотно-временном пространстве. Ниже на рис. 13.1 приведен пример представления потока спектров спутниковых ЛЧМ-сигналов в частотно-временном пространстве.

Рис. 13.1. Пример представления фрагмента потока спектров спутниковых ЛЧМ- сигналов.

EMD-HSA был предложен Норденом Хуангом c в 1995 в США (NASA) для изучения поверхностных волн тайфунов, с обобщением на анализ произвольных временных рядов в 1998 г. [20].

В последующие годы, по мере расширения применения EMD-HSA для других отраслей науки и техники, вместо термина EMD-HSA был принят более короткий термин преобразования HHT.

Декомпозиция сигналов основана на предположении, что любые данные состоят из различных режимов ­колебаний. В любой момент времени данные могут иметь много различных сосуществующих режимов колебаний, ­нанесенных одно на другое. Каждый режим, линейный или нелинейный, представляет простое колебание, которое имеет экстремумы и нулевые пересечения. Кроме того, колебание будет в определенной степени «симметрично» относительно локального среднего значения. Результат – конечные сложные данные.

Каждый из этих колебательных режимов может быть представлен функцией внутренней моды (intrinsic mode function - IMF).

IMF представляет собой колебательный режим, как часть простой гармонической функции, но вместо постоянной амплитуды и частоты, как в простой гармонике, у IMF могут быть переменная амплитуда и частота, как функции независимой переменной (времени, координаты, и пр.). Любую функцию и любой произвольный сигнал можно разделить на семейство функций IMF.

Пример модельного нестационарного сигнала y(k), представлен на рис. 13.2. Сигнал смоделирован суммой трех нестационарных по амплитуде гармоник различной частоты на интервале отсчетов по k от 0 до 200, и продлен на начальном и конечном участках на интервалы tp=4 для задания начальных и конечных условий преобразования и устранения ошибок преобразования на концевых интервалах обрабатываемого массива данных [21].

Рис.13.2. Пример модельного нестационарного сигнала

Процесс отсева функций IMF. Алгоритм эмпирической декомпозиции сигнала, описанный и проиллюстрированный в [21, 22], складывается из следующих операций его преобразования.

Операция 1. Идентифицируем по координатам и амплитудам все локальные экстремумы (максимумы и минимумы) сигнала. Группируем раздельно массивы векторов координат (номеров отсчетов) хmax(k) и соответствующих амплитудных значений уmax(k) максимумов, и аналогичные массивы векторов xmin(k) и ymin(k) минимумов всех выделенных экстремумов.

Рис. 13.3. Локализация экстремумов исходного сигнала

Операция 2. Кубическим (или каким-либо другим) сплайном вычисляем верхнюю и нижнюю огибающие сигнала по выделенным максимумам и минимумам, как это показано на рисунке (красный и синий цвет соответственно). Определяем функцию средних значений m₁(k) между огибающими (черный цвет) и находим первое приближение к первой функции IMF:

h₁(k) = y(k) – m1(k)

Рис. 13.4. Интерполяция экстремумов и вычисление функций средних значений

Операция 3. Повторяем операции 1 и 2, принимая вместо y(k) функцию h₁(k), и находим второе приближение к первой функции IMF – функцию h₂(k).

h₂(k) = h₁(k) – m₂(k)

Аналогично находим третье и последующие приближения к первой функции IMF. По мере увеличения количества итераций функция m_i(k), равно как и функция h_i(k), стремится к неизменяемой форме. С учетом этого, естественным критерием останова итераций является задание определенного предела по нормализованной квадратичной разности между двумя последовательными операциями приближения, определяемой как

Правило останова

Пример изменения значений d в процессе итераций приведен на рис. 13.5. При пороге d = 0.0001 количество итераций, как правило, не превышает 6-8.

Рис. 13.5. Пример уменьшения значения квадратичной разности при итерациях