Выбор шага квантования по уровню DX

Выбор шага квантования по уровню DX производится из условия достижения необходимой точности восстановления значений непрерывного измеряемого сигнала в ЭВМ по дискретным отсчетам.

Погрешность восстановления может быть оценена максимальной и среднеквадратической ошибкой

учитывая, что закон распределения ошибки квантования – равномерный.

Исходя из уровня допустимой погрешности восстановления, условие выбора шага квантования по уровню можно записать в виде

Условие оптимального выбора шага квантования, при котором и младший разряд АЦП несет полезную информацию,

Выбор шага квантования в диапазоне Xmin – Xmax определяет разрядность АЦП. Необходимое количество уровней квантования N АЦП в диапазоне изменения входного сигнала Xmin – Xmax равно

а количество разрядов выходного кода

n=log₂N

Расчёт интервала дискретности по времени

Погрешность восстановления зависит от характера непрерывного сигнала X(t) и от используемого способа восстановления. Для восстановления используются интерполяционные и описана и фильтрационные способы. Наиболее часто используется восстановление по теореме Котельникова , ступенчатая, линейная интерполяция и кубичная сплайн-интерполяция.

а)восстановление по теореме Котельникова[7]

Возможность полной реконструкции непрерывного сигнала по дискретным отсчетам была доказана впервые и опубликована в [30] Котельниковым В.А. в его теореме: «Любую функцию {\displaystyle f(t)\;}f(t), состоящую из частот от 0 до {\displaystyle f_{c}\;}f_c, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через {\displaystyle 1/(2f_{c})\;}1/(2 f_c) секунд».

Другими словами непрерывный сигнал может быть восстановлен абсолютно точно по дискретным отсчетам, если:

· непрерывный сигнал имеет ограниченный частотный спектр;

· отсчеты взяты через равные интервалы времени;

·
частота отсчетов превышает не менее, чем вдвое, максимальную частоту в спектре непрерывного сигнала

Эту частоту отсчетов, вдвое превышающую максимальную частоту в спектре непрерывного сигнала, называют частотой Найквиста. Восстановление значений непрерывного сигнала необходимо производить по формуле:

В результате каждому значению дискретизированного сигнала будет посталена в соответствие функция sinc (рис. 10.3) – кардинальный синус, называеваемая базисом Котельникова. (см. примеры на рис. 15.2 и 15.3).

Рис. 15.2. Пример 1 замены одного дискретного значения сигнала функцией sinc

Рис. 15.3. Пример 2 замены одного дискретного значения сигнала функцией sinc

После суммирования таких функций получим точное восстановление исходного непрерывного сигнала по дискретным отсчетам (см. рис. 15.4 и 15.5).

Рис. 15.4. Исходный сигнал X(t)

Рис. 15.5. Сигнал, восстановленный «по Котельникову»

Реализовать абсолютно точное восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам с использованием базиса Котельникова, однако, невозможно по следующим причинам:

· Сигналы могут иметь бесконечный частотный спектр;

· Значения X(lDt) известны с погрешностью.

Примечание

Частотный спектр сигнала вычисляется для всего сигнала, имеющего бесконечную длительность, составленного из фрагментов ограниченной длительности, аналогичных показанным на рис. 15.4. Спектры отдельных фрагментов могут содержать сколь угодно высокие частоты, а спектр всего сигнала при этом может иметь ограниченный частотный спектр [2].

Условием ограниченности частотного спектра всего сигнала является равенство начадьного и конечного значения фрагмента сигнала. Если это условие не выполнено, спектр всего сигнала будет иметь бесконечный частотный спектр и точное восстановление сигнала с помощью базиса Котельникова будет невозможно.

б) с помощью ступенчатой интерполяции

Рис. 15.6. Сигнал, восстановленный с помощью ступенчатой интерполяции

При использовании ступенчатой интерполяции восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам производится по формуле:

Погрешность восстановления может быть оценена величиной

Отсюда

Для гармонического сигнала

имеем:

Отсюда

в) с помощью линейной интерполяции.

Рис. 15.7. Сигнал, восстановленный с помощью линейной интерполяции

При использовании линейной интерполяции восстановление

непрерывного сигнала по дискретным отсчетам производится по формуле:

Погрешность восстановления можно оценить величиной остаточного члена разложения в ряд Тейлора:

Отсюда

Для гармонического сигнала

Отсюда

г) с помощью кубичной сплайн-интерполяции

Сплайн-интерполяция используется для представления данных отрезками полиномов невысокой степени — чаще всего третьей. При этом кубическая интерполяция обеспечивает непрерывность первой и второй производных результата интерполяции в узловых точках. Из этого вытекают следующие свойства кубической сплайн-интерполяции:

· график кусочно-полиномиальной аппроксимирующей функции проходит точно через узловые точки;

· в узловых точках нет разрывов и резких перегибов функции;

· благодаря низкой степени полиномов погрешность между узловыми точками обычно достаточно мала;

· связь между числом узловых точек и степенью полинома отсутствует;

· поскольку используется множество полиномов, появляется возможность аппроксимации функций с множеством пиков и впадин.

График интерполирующей функции при этом виде интерполяции можно уподобить кривой, по которой изгибается гибкая линейка, закрепленная в узловых точках.

Оценку погрешности при кубичной сплайн-интерполяции дает следующее выражение

Отсюда получаем условие выбора шага дискретности по времени: