Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.


3.5.1. Означення і властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток двох векторів можна ввести (і це можна побачити, зазирнувши в різні підручники) кількома еквівалентними способами.

Означення (скалярного добутку — І). Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжини першого вектора і проекції другого вектора на напрямок першого вектора:

.

Для формулювання другого означення введемо позначення кута між векторами (вважаємо при цьому, що дані вектори зведені до спільного початку).

Означення (скалярного добутку — ІІ).

.

Наведені означення, очевидно, еквівалентні між собою, оскільки має місце співвідношення:

(довести подану рівність самостійно, виходячи з відповідного малюнка).

Теорема ( про властивості скалярного добутку). Скалярний добуток векторів має властивості комутативності, однорідності та адитивності:

Доведення безпосередньо випливає з означення скалярного добутку та властивостей проекцій (розгорнуте доведення виконати самостійно).

Теорема ( координатне подання скалярного добутку). Нехай є вектори . Тоді:

.

Доведення.Розкладемо вектори і за одиничним базисом:

,

.

Далі залишається скористатися властивостями комутативності, однорідності та адитивності скалярного добутку (продовжити доведення самостійно).

3.5.2. Застосування скалярного добутку.

3.5.2.1.Рівняння прямої лінії, що проходить через задану точку

перпендикулярно заданому вектору.

 

 

^

 

3.5.2.2.Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

 

 

 

 

3.5.2.3.Доведення теореми косинусів за допомогою скалярного добутку.

 

Теорема косинусів. В

 

 


 

Доведення. Нехай у трикутника маємо:

Вектор

Якщо , cos — додатний, то , то .

Якщо - гострий, то .

Якщо - тупий, соs <0, то , - гострий.

3.5.2.4.Геометричний образ лінійної нерівності.

Лінійне рівняння з двома змінними визначає пряму лінію на координатній площині (з трьома змінними — — площину в просторі). Нехай — деяка точка на цій прямій лінії, тоді можна загальне рівняння перетворити до вигляду:

Це рівняння виражає таку умову:

 

 

Умова: точка належить прямій тоді і тільки тоді, коли вектор .

Ліва частина останнього рівняння є скалярний добуток саме вказаних векторів ( і ).

З означення скалярного добутку ( ) випливає, що нерівність задовольняють ті і тільки ті точки площини, радіус-вектор яких від точки А, що належить прямій утворює з нормальним вектором гострий кут .

 

 

Точка задовольняє нерівність , коли радіус-вектор утворює гострий кут з нормальним вектором . Отже, множиною розв’язків лінійної нерівності - є півплощина -1.

Аналогічно, множиною розвязків нерівності є протилежна півплощина -2.

Приклад.

Для визначення того, яку саме півплощину визначає нерівність, можна скористатися способом пробних точок. Беремо будь-яку точку, і якщо вона задовольняє нерівність, то саме цю півплощину визначає нерівність, якщо не задовольняє, — то іншу (протилежну) півплощину:

це правильна нерівність, отже, нерівність визначає ту півплощину, у якій знаходиться точка .

Якщо ми розглядаємо систему з кількох нерівностей, то множиною розв’язків цієї системи є перетин відповідних півплощин, тобто це є така множина точок, які потрапляють в кожну з півплощин:

 



Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 533;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.