Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.
3.5.1. Означення і властивості скалярного добутку.
Скалярний добуток двох векторів можна ввести (і це можна побачити, зазирнувши в різні підручники) кількома еквівалентними способами.
Означення (скалярного добутку — І). Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжини першого вектора і проекції другого вектора на напрямок першого вектора:
.
Для формулювання другого означення введемо позначення кута між векторами (вважаємо при цьому, що дані вектори зведені до спільного початку).
Означення (скалярного добутку — ІІ).
.
Наведені означення, очевидно, еквівалентні між собою, оскільки має місце співвідношення:
(довести подану рівність самостійно, виходячи з відповідного малюнка).
Теорема ( про властивості скалярного добутку). Скалярний добуток векторів має властивості комутативності, однорідності та адитивності:
Доведення безпосередньо випливає з означення скалярного добутку та властивостей проекцій (розгорнуте доведення виконати самостійно).
Теорема ( координатне подання скалярного добутку). Нехай є вектори . Тоді:
.
Доведення.Розкладемо вектори і за одиничним базисом:
,
.
Далі залишається скористатися властивостями комутативності, однорідності та адитивності скалярного добутку (продовжити доведення самостійно).
3.5.2. Застосування скалярного добутку.
3.5.2.1.Рівняння прямої лінії, що проходить через задану точку
перпендикулярно заданому вектору.
^
3.5.2.2.Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
3.5.2.3.Доведення теореми косинусів за допомогою скалярного добутку.
Теорема косинусів. В
Доведення. Нехай у трикутника маємо:
Вектор
Якщо , cos — додатний, то , то .
Якщо - гострий, то .
Якщо - тупий, соs <0, то , - гострий.
3.5.2.4.Геометричний образ лінійної нерівності.
Лінійне рівняння з двома змінними визначає пряму лінію на координатній площині (з трьома змінними — — площину в просторі). Нехай — деяка точка на цій прямій лінії, тоді можна загальне рівняння перетворити до вигляду:
Це рівняння виражає таку умову:
Умова: точка належить прямій тоді і тільки тоді, коли вектор .
Ліва частина останнього рівняння є скалярний добуток саме вказаних векторів ( і ).
З означення скалярного добутку ( ) випливає, що нерівність задовольняють ті і тільки ті точки площини, радіус-вектор яких від точки А, що належить прямій утворює з нормальним вектором гострий кут .
Точка задовольняє нерівність , коли радіус-вектор утворює гострий кут з нормальним вектором . Отже, множиною розв’язків лінійної нерівності - є півплощина -1.
Аналогічно, множиною розвязків нерівності є протилежна півплощина -2.
Приклад.
Для визначення того, яку саме півплощину визначає нерівність, можна скористатися способом пробних точок. Беремо будь-яку точку, і якщо вона задовольняє нерівність, то саме цю півплощину визначає нерівність, якщо не задовольняє, — то іншу (протилежну) півплощину:
це правильна нерівність, отже, нерівність визначає ту півплощину, у якій знаходиться точка .
Якщо ми розглядаємо систему з кількох нерівностей, то множиною розв’язків цієї системи є перетин відповідних півплощин, тобто це є така множина точок, які потрапляють в кожну з півплощин:
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 626;