Поняття вільного вектора.

Означення (вільного вектора). Вільним вектором називається направлений відрізок прямої, причому якщо два таких відрізка паралельні (колінеарні), однаково направлені і мають однакову довжину ( ), то відповідні вектори вважаються однаковими або рівними між собою.

Поняття довжини вектора вимагає, щоби був заданий масштаб, за допомогою якого звичайним чином вимірюється довжина відрізка, але при цьому воно також вимагає, щоб масштаб був однаковий для всіх векторів.

Словосполучення “направлений відрізок прямої” визначає, так би мовити, геометричний вектор. Для таких векторів суттєвим є їх місцеположення, тобто, де саме знаходиться їх початок та їх кінець. Вільний вектор, на відміну від геометричного вектора, дозволяється пересувати паралельно в будь-яке місце площини чи простору. Можна собі подумки уявити таку картину: до кожної точки площини чи простору “причеплено” вектор, причому всі ці вектори мають однакову довжину, паралельні та співнаправлені. Таким чином, простір виявляється вщент заповненим рівними між собою векторами:

У свою чергу таку картину можна інтерпретувати як перетворення паралельного переносу кожної точки у заданому напрямку на задану відстань.

Тепер, коли поняття вільного вектора введено, відповідно з головним стратегічним принципом методу координат нам треба побудувати аналітичну модель цього поняття. Для цього потрібне поняття проекції вільного вектора на числову вісь.

Означення (проекції вільного вектора на числову вісь). Нехай є вільний вектор і числова вісь , тоді різниця проекцій кінця і проекцій початку зветься проекцією вектора на числову вісь.

Отже, зрозуміло, що проекція вільного вектора на числову вісь є число і що так введене поняття проекції є коректним: при паралельному пересуванні вектора ані він сам, ані його проекція не змінюються (довести самостійно).

Для подальшого розгляду нам буде потрібний ще один варіант поняття проекціїї вектора. Нехай заданий деякий вектор і дві числові осі. Нехай, до того ж, числові осі паралельні та співнаправлені. Тоді проекції даного вектора на дані осі співпадають (довести самостійно). Отже, фактично, визначальними для проекції вектора на числову вісь є напрямок і масштаб осі. Але вказані компоненти “містяться” у будь-якому векторі, паралельному і співнаправленому з числовою віссю. Наведені міркування пояснюють природність такого поняття проекції вектора:

Означення (проекції вектора на напрямок іншого вектора). Проекцією вектора на напрямок вектора називається проекція на будь-яку числову вісь, паралельну і співнаправлену з вектором ; позначення: .

Лема (про значення проекції на напрямок).

(для випадку простору).