Арифметичні операції над векторами.

3.2.1. Множення вектора на число.

Означення (множення вектора на число). Множення вектора на число — це операція, результатом якої є вектор, паралельний вектору , співнаправлений вектору , якщо додатне, і протилежно направлений, якщо від’ємне, і який має довжину .

Отже, множення вектора на число — це розтягування або стискання вектора в разів ( > 1 — розтягування, < 1 — стискання) з вибором того ж самого або протилежного напрямків, в залежності від того, додатне , чи від’ємне.

3.2.2. Сума двох векторів.

Означення (суми двох векторів за правилом трикутника).Нехай є два вектори і . Перенесемо вектор так, щоби його початок співпав з кінцем вектора . Сумою називається вектор, який сполучає початок вектора з кінцем вектора .

Означення (суми двох векторів за правилом паралелограма). Нехай є два вектори і . Перенесемо вектор так, щоби його початок співпав з початком вектора . Добудуємо вектори і до паралелограму, розглядаючи їх як суміжні сторони, проведемо діагональ паралелограму із спільного початку і , і зробимо цю діагональ вектором, встановивши його початком спільний початок і . Утворений таким способом вектор називається сумою .

Теорема (про еквівалентність означень суми векторів). Означення суми векторів за правилом трикутника і за правилом паралелограму еквівалентні, тобто визначають один і той самий результуючий вектор.

Доведення. Довести самостійно, розглянувши відповідний малюнок.

Безпосередньо з означення суми векторів випливає властивість операції додавання векторів, яка називається комутативність:

Для доведення розглянемо малюнок:

Тоді . — паралелограм.

Що вийде, якщо сполучити не кінець вектора з початком вектора , а навпаки?

Нехай , тоді .

Виконаємо паралельний перенос вектора в точку С, тоді , тоді , так як — паралелограм, то .

Виконаємо паралельний перенос вектора в точку О.

Отримуємо . Виконаємо паралельний перенос вектора в точку С.

, тоді - паралелограм, тобто ; .

Також безпосередньо з означення суми векторів випливає властивість операції додавання векторів, яка називається асоціативність:

ß

3.2.3. Різниця двох векторів.

У шкільному підручнику з геометрії, як і в багатьох підручниках для вищої школи, означення різниці векторів вводиться, так би мовити, „самостійно” і проголошується, що коли є два вектори, і сполучити їх початки, і утворити вектор з початком у кінці вектора-від’ємника і з кінцем у кінці вектора-зменшуваного, то це і буде, за означенням, різниця даних векторів. Це правильно, але гранично заплутано. Насправді, таке заплутане означення є наслідком класичного означення різниці двох величин:

Означення (різниці двох векторів). Різницею двох векторів і називається такий вектор , сума якого з вектором дасть вектор .

Лема (про різницю векторів).