Понятие задачи Коши.

(О.Л.Коши (1789-1857) – выдающийся французский математик).

Отметим задачу, называемой задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Она гласит:

Требуется найти решение у = у(х) данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию у(х0) = у0, где (х00) – заданная точка плоскости(х;у).

Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение. Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт, который будет для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно у/ форме иметь вид:

, ((х;у) G)

Задача имеет решение и притом единственное для любой точки (х00) области G плоскости (х;у), если заданная на этой плоскости функция f(х;у) непрерывна вместе со своей частной производной .

Конечно, единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если у(х) и у1(х) суть ее решения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию (у(х0) = у10) = у0), заданные соответственно на интервалах (а;b) и (c;d), то

у(х) = у1(х) на пересечении этих интервалов.

Основные тины дифференциальных уравнений:

  • Уравнения с разделяющимися переменными
  • Однородные уравнения

 

1) Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на .

(метод разделения переменных).

Интегрируя обе части, получаем .

Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде неявно выраженной функции . Это – искомая интегральная кривая.

Например:

интегрируя, получим

.

Возьмем синус от обеих частей алгебраического уравнения: (общее решение в неявном виде).






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2545; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.02 сек.