Понятие задачи Коши.
(О.Л.Коши (1789-1857) – выдающийся французский математик).
Отметим задачу, называемой задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Она гласит:
Требуется найти решение у = у(х) данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию у(х0) = у0, где (х0;у0) – заданная точка плоскости(х;у).
Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение. Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт, который будет для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно у/ форме иметь вид:
, ((х;у) G)
Задача имеет решение и притом единственное для любой точки (х0;у0) области G плоскости (х;у), если заданная на этой плоскости функция f(х;у) непрерывна вместе со своей частной производной .
Конечно, единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если у(х) и у1(х) суть ее решения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию (у(х0) = у1(х0) = у0), заданные соответственно на интервалах (а;b) и (c;d), то
у(х) = у1(х) на пересечении этих интервалов.
Основные тины дифференциальных уравнений:
- Уравнения с разделяющимися переменными
- Однородные уравнения
1) Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на .
(метод разделения переменных).
Интегрируя обе части, получаем .
Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде неявно выраженной функции . Это – искомая интегральная кривая.
Например:
интегрируя, получим
.
Возьмем синус от обеих частей алгебраического уравнения: (общее решение в неявном виде).
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2849;