Неопределенный интеграл

Функция F(х) является первообразной для функции f(х) на заданном промежутке, если для всех значений х из заданого промежутка выполняется условие:

Если функция F(х) – первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

5.

Формулы интегрирования:

1.

2.

3.

4.

5.
6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Методы интегрирования:

1. Непосредственное интегрирование. То есть интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

2. Если подынтегральная функция является дробью, у которой числитель есть производная от знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму от знаменателя.

3. Метод замены переменной. То есть переменная интегрирования заменяется новой переменной в результате чего интеграл переходит в другой интеграл, более простой, чем начальный.

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

А) Метод непосредственного интегрирования (используя формулы интегрирования):

1) .

2) .

3) .

4)

.

Б) Если числитель подынтегральной функции f(x) равен производной знаменателя:

5

.

В) Метод замены переменной (метод подстановки):

6)

7)