Лекция 14. Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла.
Обратимся снова к тригонометрической окружности.
Рисунок 2.4.2.2 |
Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:
Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.
Отсюда следует, что
Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.
Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:
Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:
Из определений тангенса и котангенса следует:
Пример 2
Найдите sin x и cos x, если и
Формулы сложения
Рисунок 2.4.2.3 |
Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).
Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:
1. По определению.
поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.
2. Через координаты. Имеем:
Итак, получена следующая формула сложения:
Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.
Имеем:
Значит,
Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.
Из этих формул непосредственно следует, что
Последняя формула справедлива при
Эта формула справедлива при
Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:
Последняя формула справедлива при
Эта формула справедлива при
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3092;