Лекция 14. Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла.


Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 2

Найдите sin x и cos x, если и

Формулы сложения

Рисунок 2.4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению.

поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты. Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

 

Имеем:

Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

 

Из этих формул непосредственно следует, что

 

Последняя формула справедлива при

 

 

Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

 

Последняя формула справедлива при

 

 

Эта формула справедлива при



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3092;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.