Радианная мера угла.
Отметим на оси Ох от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом.
Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке, причем
а) либо на неполный оборот,
б) либо на целое число полных оборотов;
в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.
Меры углов, ориентированных против часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки - отрицательными
Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов вокруг точки О.
Нулевые углы считаются равными.
Свойства мер углов:
Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов. Равные углы имеют равные меры. Мера суммы двух углов равна сумме мер углов. Мера нулевого угла равна нулю.
Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная.
Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/180 часть развернутого угла.
В качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.
Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I, II, III, IV (см. рисунок).
В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этой четверти.
Так, если 00<α<900 , то угол α – угол первой четверти;
Если 900<α<1800 , то угол α – угол второй четверти;
Если 1800<α<2700 , то угол α – угол третьей четверти;
Если 2700<α<3600 , то угол α – угол четвертой четверти.
Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.
Например, угол 4300 является углом I – ой четверти, так как 4300 = 3600 + 700 = 700;
Угол 9200 является углом III-ей четверти, так как 9200 = 3600 ·2 + 2000 = 2000
(т. е. число целых оборотов можно не учитывать!)
Углы 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 – не относятся ни к какой четверти.
Давайте определим, углом какой четверти является угол α, если:
α =2830 (IV) α = 1900 (III) α =1000 (II) α = -200 (IVч –отрицательное направление)
B курсе геометрии были определены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при 00 ≤ α ≤ 1800 . Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.
Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.
Синусом угла α называется отношение ординаты точки М к длине радиуса, т. е.
Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса, т. е.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе, т. е.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате, т. е.
Рассмотрим примеры вычисления тригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочерки сделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.
α (град) | ||||||||
(рад) | π | 2π | ||||||
sin α | -1 | |||||||
cos α | -1 | |||||||
tg α | - | - | ||||||
ctg α | - | - | - |
Пример №1.Найти sin300; cos450; tg600.
Решение: а) находим в столбике таблицы sinα и в строчке 300, на пересечении столбца и строчки находим значение sin 300- это число . Пишут так: sin 300 =
б) находим в столбике таблицы cosα и в строчке 450, на пересечении столбца и строчки находим значение cos 450 - это число . Пишут так: cos 450 =
в) находим в столбике таблицы tgα и в строчке 600, на пересечении столбца и строчки находим значение tg 600- это число . Пишут так: tg 600 = .
Пример №2
Вычислитьа) 2сos 600 + cos 300 = 2·
б)3tg 450 ·tg 600 = 3·1· = 3
Вычислите самостоятельно: а) 5sin 300 - ctg 450 б) 2sin 300 + 6cos 600 – 4tg 450
в) 4tg 600·sin 600 в) 2cossin 900 + 5tg 1800
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2896;