Лекция 18. Простейшие тригонометрические неравенства.

Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
sinx>a, sinx≥a, sinx<a, sinx≤a,
cosx>a, cosx≥a, cosx<a, cosx≤a,
tanx>a, tanx≥a, tanx<a, tanx≤a,
cotx>a, cotx≥a, cotx<a, cotx≤a.
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Неравенства вида sinx>a, sinx≥a, sinx<a, sinx≤a

Неравенство sinx>a

При |a|≥1 неравенство sinx>a не имеет решений: x∈∅

При a<−1 решением неравенства sinx>a является любое действительное число: x∈R

При −1≤a<1 решение неравенства sinx>a выражается в виде
arcsina+2πn<x<π−arcsina+2πn,n∈Z (рис.1).

Неравенство sinx≥a

При a>1 неравенство sinx≥a не имеет решений: x∈∅

При a≤−1 решением неравенства sinx≥a является любое действительное число: x∈R

Случай a=1 x=π/2+2πn,n∈Z

При −1<a<1 решение нестрогого неравенства sinx≥a включает граничные углы и имеет вид arcsina+2πn≤x≤π−arcsina+2πn,n∈Z (рис.1).

Неравенство sinx<a

При a>1 решением неравенства sinx<a является любое действительное число: x∈R

При a≤−1 у неравенства sinx<a решений нет: x∈∅

При −1<a≤1 решение неравенства sinx<a лежит в интервале
−π−arcsina+2πn<x<arcsina+2πn,n∈Z (рис.2).

Неравенство sinx≤a

При a≥1 решением неравенства sinx≤a является любое действительное число: x∈R

При a<−1 неравенство sinx≤a решений не имеет: x∈∅

Случай a=−1 x=−π/2+2πn,n∈Z

При −1<a<1 решение нестрогого неравенства sinx≤a находится в интервале
−π−arcsina+2πn≤x≤arcsina+2πn,n∈Z (рис.2).

Неравенства вида cosx>a, cosx≥a, cosx<a, cosx≤a

Неравенство cosx>a

При a≥1 неравенство cosx>a не имеет решений: x∈∅

При a<−1 решением неравенства cosx>a является любое действительное число: x∈R

При −1≤a<1 решение неравенства cosx>a имеет вид
−arccosa+2πn<x<arccosa+2πn,n∈Z (рис.3).

Неравенство cosx≥a

При a>1 неравенство cosx≥a не имеет решений: x∈∅

При a≤−1 решением неравенства cosx≥a является любое действительное число: x∈R

Случай a=1 x=2πn,n∈Z

При −1<a<1 решение нестрогого неравенства cosx≥a выражается формулой
−arccosa+2πn≤x≤arccosa+2πn,n∈Z (рис.3).

Неравенство cosx<a

При a>1 неравенство cosx<a справедливо при любом действительном значении x: x∈R

При a≤−1 неравенство cosx<a не имеет решений: x∈∅

При −1<a≤1 решение неравенства cosx<a записывается в виде
arccosa+2πn<x<2π−arccosa+2πn,n∈Z (рис.4).

Неравенство cosx≤a

При a≥1 решением неравенства cosx≤a является любое действительное число: x∈R

При a<−1 неравенство cosx≤a не имеет решений: x∈∅

Случай a=−1 x=π+2πn,n∈Z

При −1<a<1 решение нестрогого неравенства cosx≤a записывается как
arccosa+2πn≤x≤2π−arccosa+2πn,n∈Z (рис.4).

Неравенства вида tanx>a, tanx≥a, tanx<a, tanx≤a

Неравенство tanx>a

При любом действительном значении a решение строгого неравенства tanx>a имеет вид arctana+πn<x<π/2+πn,n∈Z (рис.5).

Неравенство tanx≥a

Для любого значения a решение неравенства tanx≥a выражается в виде
arctana+πn≤x<π/2+πn,n∈Z (рис.5).

Неравенство tanx<a

Для любого значения a решение неравенства tanx<a записывается в виде
−π/2+πn<x<arctana+πn,n∈Z (рис.6).

Неравенство tanx≤a

При любом a неравенство tanx≤a имеет следующее решение:
−π/2+πn<x≤arctana+πn,n∈Z (рис.6).

Неравенства вида cotx>a, cotx≥a, cotx<a, cotx≤a

Неравенство cotx>a

При любом a решение неравенства cotx>a имеет вид
πn<x<arccot a+πn,n∈Z (рис.7).

Неравенство cotx≥a

Нестрогое неравенство cotx≥a имеет аналогичное решение
πn<x≤arccot a+πn,n∈Z (рис.7).

Неравенство cotx<a

Для любого значения a решение неравенства cotx<a лежит в открытом интервале arccot a+πn<x<π+πn,n∈Z (рис.8).

Неравенство cotx≤a

При любом a решение нестрогого неравенства cotx≤a находится в полуоткрытом интервале
arccot a+πn≤x<π+πn,n∈Z (рис.8).