Лекция 4. Понятие комплексного числа.
Комплексным числом называется выражение вида
Например.
Действительная и мнимая часть комплексного числа
Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel - действительный).
Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire - мнимый).
Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая - .
Если действительная часть комплексного числа равна нулю ( ), то комплексное число называется чисто мнимым.
Например.
Мнимая единица
Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:
Равные комплексные числа
Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:
Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.
Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда
Ответ.
Число называется комплексно сопряженным числом к числу .
То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.
Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .
Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .
Например. Противоположным к числу есть число: .
Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое равно
То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.
Задание. Найти сумму , если , .
Решение. Искомая сумма равна
Ответ.
Вычитание комплексных чисел
Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число , действительная и мнимая части которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел и соответственно:
Задание. Найти разность , если , .
Решение. Действительная часть искомого комплексного числа равна разности действительных частей чисел и , а мнимая - мнимых частей этих чисел, то есть
Ответ.
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число , равное
На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены , просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что .
Задание. Найти произведение комплексных чисел и .
Решение. Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть
Ответ.
Комплексно сопряженные числа
Если , то число называется комплексным сопряженным к числу .
То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.
Например. Комплексно сопряженным к числу есть число .
На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.
Свойства комплексно сопряженных чисел
1) Если , то можно сделать вывод, что рассматриваемое число является действительным.
Например. и
2) Для любого комплексного числа сумма - действительное число.
Например. Пусть , тогда , а тогда
3) Для произвольного комплексного числа произведение .
Например. Пусть , комплексно сопряженное к нему число , тогда произведение
4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: , а аргументы отличаются знаком (рис. 1).
5)
6)
7)
8)
9) Если и - комплексно сопряженные числа, то
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3015;