Лекция 2. Целые, рациональные и иррациональные числа.

Множество. Основные понятия.

1.Понятие множества, подмножества. Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.

Опр: Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так, можно говорить о множестве студентов колледжа, о множестве всех натуральных чисел и тд.

Опр: Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, например А, В,…,Х,…, а их элементы – малыми буквами а, в,…,х,…

Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают , запись или означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.

Опр: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Опр:Множество называют конечным, если число его элементов конечно.

Опр:Множество, отличное от пустого и конечного называют бесконечным.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указывается общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись означает, что множество состоит из четырех чисел 1,5,17,21; запись означает, что множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Опр:Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Опр:Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

2. Операции над множествами

1. Объединением (суммой) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать . Например: даны множества , , тогда .

2. Пересечением (произведением) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение множеств обозначают (или ). Кратко можно записать . Например: даны множества , , тогда .

3. Разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов множества , не принадлежащих множеству . Разность множеств обозначают . Например: даны множества , , тогда .

4.Дополнением множества относительно множества , называется множество , если или и С_В =В \ А. Например: даны множества , , тогда .

3. Пересечение и объединение. Для множеств , и справедливы следующие соотношения1.

2. – коммутативность объединения

3. – ассоциативность объединения

4.

5.

6. – коммутативность пересечения

7. – ассоциативность объединения

8.

9.

10.

4. Некоторые логические символы. В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы:

- символы включения. − «множество включено во множество » или «множество включает ».

− «принадлежит», − «не принадлежит».

− символ (квантор) общности, означает «для любого», «для всякого».

− символ (квантор) существования, означает «существует», «найдётся».

− символ следствия.Запись означает «из предложения следует предложение ».

− символ равносильности (эквивалентности). Запись означает из следует и из следует ».

− союз «и»

− союз «или»

: − «имеет место», «такое что».

– означает отрицание предложения или «не », черта над − символ отрицания.

def − означает утверждение справедливо по определению.

Если несколько условий выполняется одновременно, то их объединяют знаком системы , что соответствует союзу «и». Если же выполняется хотя бы одно из условий, то их объединяют знаком совокупности , что соответствует союзу «или».

Например: 1) − для всякого элемента имеет место предложение .

2) − определение объединения множеств и .

3.1 Приведите примеры конечного и бесконечного множеств.

3.2 Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств. Ответ: , , ,

3.3 Даны множества и . Найти дополнение относительно . Ответ: .

4. Обобщение урока (итоги, результаты).

5. Задание на дом. Разбор теоретического материала по конспектам лекций. Пример: Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств, дополнение относительно . Ответ: , , .

Лекция 2. Целые, рациональные и иррациональные числа.

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа: 1; 2; 3; 4;...

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

a + b = c

с - это всегда натуральное число.

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

a * b = c

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

a : b = c

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь, имеется ввиду, делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел: 4; 6; 8; 9; 10

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

a + b = b + a;

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

ab = ba;

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

a (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например: -1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры: -1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера: 22/6 = 3,(6);

Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.

Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.

Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Иррациональные числа

Иррациональные числа - это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Примеры: число пи = 3,141592... число е = 2,718281...

Действительные числа

Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.