Уравнение динамики вращательного движения

(5.15)

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорцио­нально моменту инерции.

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(5.16)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (5.17)

—момент импульса (или момент количества движения), МΔτ — импульс момента сил (или импульс вращающего момента).

Эти величины векторные и совпадают по направлению с вектора­ми и .

Определим кинетическую энергию твердого тела, вращающегося во­круг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каж­дая точка движется с линейной скоростью , тогда кинетическая энергия точки

или . (5.18)

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(5.19)

[J— момент инерции тела относительно оси вращения].

Если тело совершает поступательное и вращательное движения од­новременно, то его полная кинетическая энергия равна

(5.20)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

Рассмотрим, например скатывание шара по наклонной плоскости с высоты h без проскальзывания с начальной нулевой скоростью (рисунок 5.4). Найдем скорость перемещения шара в конце спуска. Из закона сохранения энергии

имеем:

.

Рисунок 5.4 – Скатывание шара с наклонной плоскости.

Условие движения без проскальзывания означает, что линейная скорость центра масс связана с угловой скоростью , момент инерции шара равен

Тогда искомая скорость шара в конце спуска: