III. Упругие столкновения

1. Столкновение называется абсолютно упругим, если по его завершении тела полностью восстанавливают свою первоначальную форму и в их внутреннем состоянии не происходит каких-либо изменений, если сохраняется суммарная механическая энергия тел.

2. Столкновения обычных, макроскопических тел в реальных условиях всегда бывают в той или иной степени неупругими, ибо они всегда сопровождаются нагреванием тел, образованием акустических волн и т.д., т.е. превращением части механической энергии тел в другие виды. Однако в некоторых случаях столкновения макроскопических тел можно с достаточной степенью точности считать абсолютно упругими (например, столкновение шаров из слоновой кости или закалённой стали).

Особо важную роль упругие столкновения играют в физике атомных явлений. Так, столкновения молекул газа друг с другом и со стенками сосуда, в который газ заключён, можно уподобить соударениям абсолютно упругих шаров. Упруго рассеиваются a - частицы при прохождении через тонкие плёнки вещества (опыты Резерфорда), рентгеновские кванты при взаимодействии с электронами и т.д.

3. Рассмотрим абсолютно упругое центральное столкновение двух шаров. Пусть массы шаров m₁ и m₂. Шары двигаются один вслед за другим (первый шар догоняет второй) и перед столкновением имеют скорости и . Во время столкновения шары деформируются, силы упругой деформации изменяют скорости шаров. Обозначим скорости шаров после столкновения и

Полагая, что шары образуют замкнутую систему, применим к ним закон сохранения импульса:

(12.11)

Пусть массы шаров таковы, что и после соударения они продолжают двигаться в том же направлении, в каком двигались до столкновения. Тогда соотношение (12.11) в проекциях запишется так:

(12.12)

Детальный анализ деформации шаров в процессе упругого столкновения весьма сложен. Но этот анализ, в принципе, и не нужен. Так как шары полностью восстанавливают свою первоначальную форму, и в их внутреннем состоянии не происходит изменений, то закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии:

(12.13)

Решая уравнения (12.12) и (12.1З) совместно (это следует проделать самостоятельно), получим:

(12.14) (12.15)

4. Рассмотрим некоторые частные случаи:

а) Массы шаров равны: m₁ = m₂ = m. Тогда U₁= ₂ и U₂= ₁. Шары просто обмениваются своими скоростями.

Если до столкновения второй шар покоился ( ₂=0), то после столкновения он начинает двигаться со скоростью первого шара U₂= ₁, а первый шар останавливается U₁=0

б) Масса второго шара значительно больше массы первого m₂>>m₁. Разделим числитель и знаменатель соотношений (12.14) и (12.15) на m₂:

и

Отношением можно пренебречь. Тогда и

Вывод: при упругом центральном столкновении шара малой массы с шаром большой массы скорость шара большей массы практически не изменяется. Если ₂=0 (массивный шар покоится), то U₁»- , т.е. шар малой массы при упругом ударе отскакивает от массивного неподвижного шара со скоростью, почти равной по величине и противоположной по направлению той скорости, с которой он ударяется. При этом лёгкий шар практически не передаёт свою кинетическую энергию массивному шару.

Полученный вывод можно применить к упругому удару шара о неподвижную стенку, перпендикулярную направлению движения шара (с этим случаем мы сталкиваемся, например, при расчёте давления, оказываемого молекулами газа на стенки сосуда).

Найдём изменение импульса шара при таком упругом отражении:

Такой же по величине, но противоположной по знаку импульс получит стенка.

в) Шары двигаются в одном направлении. m₁<<m₂, но ₁>> ₂.

Тогда

Малый шар отскакивает от большего со скоростью, меньшей первоначальной на величину 2 ₂.

Нечто подобное происходит в цилиндре с газом при расширении газа. Молекулы, ударяющиеся об удаляющийся поршень, теряют свою скорость и, следовательно, кинетическую энергию. Эти “потери” проявляются в охлаждении газа.

г) Шары двигаются навстречу друг другу. m₁<<m₂, ₁>> ₂. Тогда, проекция скорости ₂ на положительно выбранное направление отрицательна.

Малый шар отскакивает от большого со скоростью, превышающей ту, с которой он ударяется о большой шар на величину 2 ₂.

Нечто подобное происходит в цилиндре с газом при сжатии газа. Молекулы, ударяющиеся о надвигающийся поршень, увеличивают свою скорость и кинетическую энергию, что проявляется в нагревании газа.

IV. Расчёт второй космической скорости (для Земли)

Вторая “земная” космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу относительно Земли, чтобы оно преодолело поле земного тяготения, т.е. оказалось способным удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние.

Пренебрегая действием на тело Солнца, Луны, планет, звёзд и т.д. и полагая, что в системе Земля - тело отсутствуют неконсервативные силы (а таковые в действительности имеются - это силы сопротивления атмосферы), мы можем считать эту систему замкнутой и консервативной. В такой системе полная механическая энергия есть величина постоянная.

Если нулевой уровень потенциальной энергии выбрать в бесконечности, то полная механическая энергия тела в любой точке траектории будет равна нулю (по мере удаления тела от Земли кинетическая энергия, сообщенная ему на старте, будет превращаться в потенциальную. В бесконечности, где потенциальная энергия тела равна нулю,

обратится в нуль и кинетическая энергия E_к=0. Следовательно, полная энергия E=E_п+E_к.= 0.)

Приравняв полную энергию тела на старте (на поверхности Земли) и в бесконечности, мы можем вычислить вторую космическую скорость. На старте тело обладает положительной кинетической энергией и отрицательной потенциальной энергией , m - масса тела; M_з - масса Земли; _II - скорость тела на старте (искомая космическая скорость);R_з - радиус Земли (предполагаем, что необходимую космическую скорость тело приобретает в непосредственной близости от поверхности Земли).

Полная энергия тела (12.16)

откуда (12.17)

Массу Земли можно выразить через ускорение свободного падения g₀ (вблизи поверхности Земли): .

Подставив это выражение в (12.17), получим окончательно

(12.18)

так как есть первая космическая скорость.

V. Условия равновесия механической системы.

1. Пусть на некоторое тело действуют только консервативная сила. Это значит, что данное тело вместе с телами, с которыми оно взаимодействует, образует замкнутую консервативную систему. Выясним,

при каких условиях рассматриваемое тело будет находиться в состоянии равновесия (сформулируем эти условия с энергетической точки зрения).

2. Условия равновесия с точки зрения динамики нам известны: тело находится в равновесии, если его скорость и геометрическая сумма всех действующих на него сил равны нулю:

(12.19)

(12.20)

Пусть консервативная сила, действующая на тело, такова, что потенциальная энергия тела зависит только от одной координаты, например, x. График этой зависимости приведён на рисунке 23. Из связи потенциальной энергии с силой следует, что в состоянии равновесия

производная от потенциальной энергии по x равна нулю.

(12.21)

т.е. в состоянии равновесия тело обладает экстремальным запасом потенциальной энергии. Убедимся в том, что потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия минимальная, а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальная.

3. Устойчивое равновесие системы характеризуется тем, что при отклонении системы из этого состояния возникают силы, возвращающие систему в первоначальное состояние.

При отклонении из состояния неустойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся отклонить систему ещё дальше от первоначального положения. Отклоним тело из положения A влево (см. рис.23). При этом появится сила , проекция которой на ось x равна:

(12.22)

Производная в точке отрицательна (угол - тупой). Из (12.22) следует, >0; направление силы совпадает с направлением оси x, т.е. сила направления к положению равновесия A. Тело самопроизвольно, без дополнительного воздействия вернётся в положение равновесия. Следовательно, состояние A – состояние устойчивого равновесия. Но в этом состоянии, как видно из графика, потенциальная энергия минимальна.

4. Отклоним тело из положения B также влево. Проекция силы на ось x:

получается отрицательной ( >0, так как угол острый).

Это значит, что направление силы противоположно положительному направлению оси x, т.е. сила направлена от положения равновесия. Состояние B, в котором потенциальная энергия максимальна, неустойчиво.

Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна, в состоянии неустойчивого равновесия – максимальна.

Если известно, что потенциальная энергия некоторой системы минимальна, то это ещё не значит, что система находится в равновесии. Необходимо ещё, чтобы в этом состоянии система не обладала кинетической энергией: (12.23)

Итак, система находится в состоянии устойчивого равновесия, если E_к=0, а E_п минимальна. Если E_к=0, а E_п максимальна, то система находится в неустойчивом равновесии.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения Момент инерции тела человека относительно оси вращения В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой каждая. Расстояние между гирями

Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным Моментом инерции скамейки пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (см. рис.24), составляет вместе со скамейкой изолированную механическую систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное значение.

Следовательно, для нашего случая

где и - момент инерции человека и угловая скорость скамейки и человека с вытянутыми руками. и - момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с опущенными руками. Отсюда , заменив угловую скорость через частоту ( ), получим

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека и момента инерции гирь в руках человека, который можно определить по формуле момента инерции материальной точки

Следовательно,

где масса каждой из гирь, и первоначальное и конечное расстояние между ними. С учетом сделанных замечаний имеем

Подставляя численные значения величин, найдем

Пример 2. Стержень длиной и массой может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис.25). В середину стержня ударяет пуля массой , летящая в горизонтальном направлении со скоростью , и застревает в стержне.

На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с некоторой угловой скоростью и сообщает ему некоторую кинетческую энергию где момент инерции стержня относительно оси вращения. Затем стержень поворачивается на некоторый угол, причем его центр тяжести поднимается на некоторую высоту .

В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии, т.е.

, откуда

Для определения угловой скорости воспользуемся законом сохранения момента импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня и поэтому момент импульса стержня Пуля коснулась стержня, имея линейную скорость , и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси.

Начальный импульс пули где расстояние точки попадания пули от оси вращения.

В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля – линейную скорость равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии от оси вращения.

Так как , то конечный момент импульса пули

Применив закон сохранения момента импульса, можно записать

откуда

Подставив числовые значения, получим

После этого находим

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какая система тел называется замкнутой?

2. Какая система взаимодействующих тел называется консервативной?

3. При каких условиях сохраняется импульс отдельного тела?

4. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы тел.

5. Сформулируйте закон сохранения момента импульса (для отдельного тела и системы тел).

6. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

7. Какие системы называются диссипативными?

8. Что называется столкновением тел?

9. Какое столкновение называется абсолютно неупругим и какое абсолютно упругим?

10.Какие законы выполняются при абсолютно неупругом и абсолютно упругом столкновениях тел, образующих замкнутую систему?

11.Что такое вторая космическая скорость? Выведите формулу для этой скорости.

1. Сформулируйте условия равновесия механической системы.