ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ

13 ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ. ЗАКОН АРХИМЕДА

Жидкостями называются вещества, имеющие определённый объём и принимающие форму того сосуда, в котором они находятся.

Раздел механики, в котором изучаются равновесие и движение жидкостей, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами, называется гидромеханикой.

Гидромеханика обычно имеет дело с несжимаемыми жидкостями – жидкостями, плотность которых всюду одинакова и не меняется со временем.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от неё, будут действовать на каждый её элемент с силами , которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке , так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением жидкости:

Единицей давления является паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па =1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям и передаётся ею одинаково по всему объёму.

При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда.

Если жидкость несжимаема, то её плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении столба жидкости, его высоте и плотности вес столба , а давление на его основание

(13.1)

т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давление называется гидростатическим давлением.

Согласно (13.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:

, (13.2)

где - плотность жидкости, - объем погруженного в нее тела.

14 УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ЖИДКОСТИ

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис.26). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа

линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (стационарным), если форма и расположение линий тока, а так же значения скоростей со временем не изменяются.

Выберем произвольно в какой-либо трубке тока два сечения и , перпендикулярные направлению скорости (рис.27).

За время через сечение проходит объём жидкости , следовательно, за 1 с через сечение пройдет объём жидкости , а через сечение объем жидкости . Предполагается, что скорости в сечениях не изменяются с течением времени. Учитывая, что жидкость несжимаема, через оба сечения за 1 с пройдет одинаковый объём жидкости, т.е.

(14.1)

Выражение (14.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

15 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями и (рис.28). Пусть в месте сечения скорость течения , давление и высота, на которой расположено это сечение . Аналогично, в месте сечения скорость течения , давление и высота сечения . За малый промежуток времени жидкость перемещается от сечения к сечению и от к .

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии

идеальной несжимаемой жидкости равно работе внешних сил по перемещению массы жидкости:

(15.1)

где и - полные энергии жидкости массой в местах сечений и соответственно.

С другой стороны, - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями и , за рассматриваемый промежуток времени . Для перенесения массы от до жидкость должна переместиться на расстояние и от к - на расстояние . При этом, и настолько малы, что

значения скорости, давления и высоты в соответствующих сечениях не меняются.

Следовательно (15.2)

где и (направлена противоположно течению жидкости, рис.28).

Полные энергии и будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы жидкости:

(15.3)

(15.4)

Подставив (15.3) и (15.4) в (15.1) и приравнивая (15.1) и (15.2), получим

(15.5)

Согласно уравнению неразрывности жидкости (14.1), объём жидкости, протекающий через сечения и , остается постоянным, т.е.

Разделив выражение (15.5) на , получим

где - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можно записать

(15.6)

Выражение (15.6) называется уравнением Бернулли в честь швейцарского физика Д.Бернулли. Это уравнение есть выражение закона сохранения энергии применительно к стационарному течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей с малой вязкостью.

Величина в формуле (15.6) называется статическим давлением, величина - динамическим давлением, - гидростатическое давление, называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (15.6) и уравнения неразрывности (14.1) для горизонтальной трубки тока следует, что при течении жидкости по трубке переменного сечения, статическое давление будет больше там, где скорость меньше, а сечение больше и, наоборот, статическое давление меньше в сечениях с большей скоростью. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы переменного сечения ряд манометров (рис.29).

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости, то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито – Прандтля (рис.30). С помощью одной из трубок измеряется полное давление ( ), с помощью другой – статическое ( ).

Манометром измеряют разность давлений:

, (15.7)

где - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

. (15.8)

Из формул (15.7) и (15.8) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в сечениях, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.31).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим сосуд (рис.32) с отверстием в боковой стенке. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений (на уровне и уровне ):

а так как и равны атмосферному давлению, то уравнение при-мет вид . Из уравнения неразрывности (14.1) следует, что и если , то членом можно пренебречь и , откуда

. (15.9)

Это выражение получило название формулы Торричелли.

16 ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

К ДВИЖУЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

а) Реакция текущей жидкости на стенки изогнутой трубы.

Рассмотрим изогнутую трубу постоянного сечения (рис.33). При установившемся стационарном потоке в силу неразрывности струи скорость в каждом сечении будет одинакова. Рассмотрим объём участка трубы, ограниченного сечениями и . За время в этот объём будет втекать через сечение количество жидкости , обладающее импульсом . Одновременно из этого объёма через сечение будет вытекать такое же количество жидкости, обладающее импульсом . Таким образом, стенки трубы сообщают жидкости приращение импульса . Это приращение импульса за единицу времени будет равно силе, с которой стенки трубы действуют на жидкость

По третьему закону Ньютона с такой же силой жидкость будет действовать на стенки трубы

(16.1)

Силу называют реакцией текущей жидкости на стенки трубы.

б) Реакция вытекающей струи.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис.34), уносит с собой за время импульс ( - площадь отверстия, - скорость истечения струи). Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом, который от жидкости за то же время получит импульс равный , т.е. будет испытывать действие силы

(16.2)

Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Воспользовавшись выражением (15.9), найдем величину силы для скорости истечения жидкости из отверстия.

(16.3)

Сила реакции в два раза больше силы гидростатического давления . Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

На реакции вытекающей струи основано действие реактивных двигателей, ракет, турбин и др.

17 СИЛЫ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ (ВЯЗКОСТЬ)

Вязкость (внутреннее трение) – свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоёв жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоёв. Действие этих сил проявляется в том, что

со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медлен- нее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис.35), линейные разме-ры которых значительно превосходят расстояние между ними. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение с постоянной скоростью силой , в отсутствии ускорения эта сила уравновешивается равной ей по величине противоположно направленной силой трения со стороны жидкости.

Варьируя скорость пластины , площадь пластин и расстояние между ними , можно получить, что

, (17.1)

где - коэффициент, зависящий от природы и состояния жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении , перпендикулярном к пластинам, по закону

(17.2)

Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, что и пластины.

Из (17.2) имеем

(17.3)

Учитывая (17.3), формуле (17.1) для силы внутреннего трения можно придать вид

(17.4)

Выражая в (17.4) силу через импульс, получим формулу для коэффициента вязкости (17.5)

который показывает, какой импульс передается из слоя в слой за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно вектору градиента скорости при единичном его значении.

Единицей вязкости в системе СИ является Пас = Нс/м²

Измеряется коэффициент вязкости многими методами, одним из которых является метод Стокса, основанный на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

Например, на шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести ( - плотность материала шарика), сила Архимеда ( - плотность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: где - радиус шарика, - его скорость. При равно-

мерном движении шарика или , откуда (17.6)

Измеряя скорость равномерного движения шарика, определяем коэффициент вязкости.

18 ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если, вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости.

Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях её движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние от поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы.

При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости

быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей.

Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:

где - кинематическая вязкость; - плотность жидкости; < > - средняя по сечению трубы скорость жидкости; - характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса ( ) наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 < <2000, а при =2300 (для гладких труб) течение – турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей в трубах разных сечений одинаков.

19 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТЯХ

На тело, движущееся в жидкости, действуют две силы (их равнодействующая R), одна из которых Q направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), - лобовое сопротивление, а вторая Р перпендикулярна этому направлению – подъёмная сила (рис.36).

Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если рассмотреть движение цилиндра в такой жидкости (рис.37), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки А и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D , т.е. результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости. Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы, то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости, направленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, об разует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис.38).

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления определяемым экспериментально:

(19.1)

где - плотность среды; - скорость движения тела; - наибольшее поперечное сечение тела.

Составляющую Q можно значительно уменьшить, подобрав тело такой формы, которая не способствует образованию завихрения.

По формуле, аналогичной (19.1), определяется и подъемная сила Р.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака (см. рис.39) и бьёт из отверстия фонтана сечением со скоростью

Найти: 1) скорость понижения уровня воды в баке, если диаметр бака а диаметр отверстия фонтана ; 2) давление под которым вода подается в фонтан; 3) высоту уровня воды в баке и высоту струи, выходящей из фонтана.

Решение. 1) Проведём сечение в баке на уровне сечения фонтана. Так как сечение много больше сечения , то высоту уровня воды в баке можно считать для малого промежутка времени постоянной, а поток установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи

Из этого условия следует, что объём воды , протекающий за

1 сек через сечение должен быть равен объёму воды , протекающей через сечение : = или где и - длины цилиндрических столбов жидкости, протекающей за 1 сек через сечения и .

Так как длины и численно равны скоростям течения и в сечениях и , то можно записать откуда

Подставив в это равенство числовые значения заданных величин, найдём

2) Давление под которым вода подается в фонтан, найдём по уравнению Бернулли, которое для горизонтальной трубки тока имеет вид

где и - статические давления в сечениях и , и - динамические давления в этих сечениях, плотность жидкости. Учитывая, что равно нулю ( - избыточное давление над атмосферным), из уравнения Бернулли получим

Подставив числовые значения величин, получим

Вторым слагаемым, ввиду его малости, пренебрегли.

3) Зная давление , можно найти высоту уровня воды в баке по формуле (гидростатическое давление столба жидкости), откуда

Подставив числовые значения, будем иметь

Зная скорость , с которой вода выбрасывается фонтаном, можно найти высоту , на которую она будет выброшена:

Отметим, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов), если пренебречь сопротивлением воздуха.

Пример 2. Определить время истечения несжимаемой жидкости из открытого цилиндрического сосуда высотой , если диаметр небольшого отверстия в дне сосуда в 60 раз меньше диаметра сосуда.