ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

I. Явление отдачи

Закон сохранения импульса позволяет объяснить явление отдачи. Это явление имеет место и при взаимодействии макроскопических тел (выстрел из орудия, реактивное движение) и при взаимодействии микрообъектов (например, распад атомных ядер).

1. Рассмотрим, к примеру, a - распад. При a - распаде ядра радиоактивного элемента выбрасывают a - частицы - ядра атомов гелия. Если до распада основное ядро покоилось, то суммарный импульс продуктов распада должен остаться равным нулю:

, (12.1)

здесь М и - масса и скорость вновь образовавшегося ядра, m и - масса и скорость a - частицы. При этом a - частица и ядро разлетаются в прямо противоположные стороны: . Скорости ядра и

a - частицы обратно пропорциональны их массам:

(12.2)

Заметим, что на явлении отдачи ядер был осуществлён один из первых экспериментов по обнаружению нейтрино - самой „неуловимой" из элементарных частиц.

2. Явление “непрерывной отдачи" лежит воснове реактивного движения.

Реактивный двигатель (ракета) - единственный летательный аппарат, не нуждающийся при своем движении в опоре. Изменение скорости реактивного двигателя осуществляется без участия внешних сил (если не учитывать действие сил тяготения, от которых, как известно, нельзя избавиться).

Рассмотрим, от чего зависит скорость, приобретаемая ракетой во время разгона.

Вследствие непрерывного истечения продуктов сгорания - масса ракеты постепенно уменьшается, а её скорость возрастает.

Пусть в некоторый момент времени t масса ракеты и её скорость относительно Земли равны соответственно М и . Импульс ракеты в этот момент времени . Если за время dt масса выброшенных продуктов сгорания равна dM,то масса ракеты в момент временя t+dt

станет равной (М-dM), а ее импульс (M-dM) ( + ), - приращение скорости ракеты за время dt. Импульс выброшенных газов в момент времени t+dt:

- скорость истечения газов относительно ракеты;

- скорость газов относительно Земли. В соответствии с законом сохранения импульса, импульсы системы до и после взаимодействия равны:

(12.3)

Спроектируем все векторы этого соотношения на направление

(12.4)

(скорость противоположна направлению , поэтому её проекция на направление отрицательна). Раскроем скобки:

Пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка , получим

Разделим переменные:

Учтем, наконец, что dM - изменение массы ракеты отрицательно;

(12.5)

(dМ теперь - абсолютная величина изменения массы ракеты). Знак “минус” означает, что уменьшению массы ракеты соответствует возрастание её скорости.

Полагая, что скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты постоянна, нетрудно проинтегрировать написанное уравнение. Если масса ракеты на старте ( =0) была M₀ , а в момент, когда скорость достигла значения , стала равной М, то интегрирование дает

; (12.6)

Полученное соотношение называется формулой Циолковского, а величина - числом Циолковского.

При скорости истечения газов > 2000 м/сек и , скорость ракеты получается порядка 4,8 км/сек. Дальнейший рост числа Циолковского приводит к довольно медленному увеличению скорости ракеты. Поэтому технически целесообразным оказывается создание ракетных “поездов” – многоступенчатых ракет.

II. Неупругие столкновения

1.Столкновение (соударение) - такое сближение двух или нескольких тел, при котором между телами имеет место кратковременное, но весьма сильное взаимодействие, при этом скорости меняются на конечные величины за этот очень малый промежуток времени.

При этом вовсе необязательно, чтобы тела непосредственно соприкасались (хотя в некоторых случаях это имеет место).

Примеры соударений: удар биллиардных шаров, столкновения молекул и атомов, попадание пули в мишень и т.д.

Так как время взаимодействия при столкновениях мало, а силы, возникающие при этом, весьма велики, то действием всех постоянных сил (сил тяготения, например) можно пренебречь и рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему. Как известно, только в замкнутой системе выполняются законы сохранения.

2. Различают упругие и неупругие столкновения. Предельными, идеализированными случаями столкновений являются столкновения абсолютно упругие и абсолютно неупругие.

3. Если после столкновения внутреннее состояние тел изменяется, если тела не восстанавливают свою первоначальную форму, если столкновение сопровождается превращением кинетической энергии тел в другие виды, то столкновение называется неупругими.

Столкновение тел называется абсолютно неупругим, если по его завершении тела двигаются как единое целое. Примеры: столкновение шаров из мягкого воска, столкновение двух разноимённых ионов, сопровождающееся образованием молекулы, захват свободного электрона положительным ионом и т.д.

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение более подробно. Пусть абсолютно неупругое столкновение происходит между двумя телами массой m₁ и m₂, движущимися со скоростями и . По закону сохранения импульса –

(12.7)

откуда скорость тел после столкновения:

(12.8)

Как видно из этой формулы, движение тел после столкновения происходит вдоль диагонали параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.22)

Если до столкновения линии скоростей , лежали вдоль прямой, соединяющей центры масс тел, то столкновение называется центральным, в противном случае - нецентральным.

В случае центрального соударения при переходе от векторной формы записи соотношения (12.8) к скалярной векторы импульсов разумно проектировать на направление, совпадающее с направлением вектора скорости одного из тел, например, первого. Тогда

где знак “+” относится к случаю, когда тела до столкновения двигались в одном направлении, “-“ - когда тела двигались навстречу друг другу.

1. Найдём, какая часть кинетической энергии превращается при центральном абсолютно неупругом столкновении в другие виды энер-гии. Суммарная кинетическая энергия тел до столкновения равна после столкновения

В случае центрального столкновения

Тогда

Убыль кинетической энергии системы

(12.9)

Таким образом, часть кинетической энергии, превращающаяся в другие виды при абсолютно неупругом центральном соударении, зави-сит от соотношения масс тел и их относительной скорости ( ).[8]

Рассмотрим один частный случай: но m₁<<m₂ (это имеет место с точки зрения классической электронной теории металлов при столкновении электронов проводимости в металле с узлами кристаллической решётки).

Разделим числитель и знаменатель в выражении (12.9) на m₂:

Так как и m₁<<m₂, то величиной ₂ по сравнению с ₁ и дробью по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда

(12.10)

Таким образом, при абсолютно неупругом столкновении быстрой частицы малой массы с медленной (или покоящейся) частицей большой

массы, практически вся кинетическая энергия быстрой частицы преобразуется в другие виды энергии.