МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

20 ПОНЯТИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Среди разнообразных движений и процессов, совершающихся в природе и технике, весьма распространёнными являются колебания.

Колебания – это любое движение, любой физический процесс, характеризующийся той или иной повторяемостью во времени.

Волнение моря, качание маятника часов, вибрации корпуса корабля, биение человеческого сердца, звук, радиоволны, свет, переменные токи и т.д. – все это колебания.

2. В процессе колебаний значения физических величин, определяющих состояние системы, через равные или неравные промежутки времени повторяются.

Колебания называются периодическими, если значения изменяющихся физических величин повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, через который значение изменяющейся физической величины повторяется (по величине и направлению, если это величина векторная; по величине и знаку, если она скалярная), называется периодом колебаний этой величины.

Число полных колебаний , совершаемых колеблющейся величиной за единицу времени, называется частотой колебаний этой величины:

или (20.1)

3. Любое колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие периодические колебания:

а) свободные или собственные;

б) вынужденные;

в) автоколебания;

г) параметрические.

Свободные или собственные колебания – это колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после выведения её из состояния устойчивого равновесия. Пример: колебания груза на пружине.

Вынужденные колебания – это колебания, обусловленные внешними периодическими воздействиями. Пример: электромагнитные ко-лебания в антенне телевизора.

Автоколебания – собственные колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, включение которого в нужные моменты времени осуществляет сама колеблющаяся система. Пример: колебания маятника часов.

Включение источника энергии (сжатой пружины) производит устройство, связанное с маятником часов.

Параметрические колебания – это колебания, в процессе которых происходит периодическое изменение какого – либо параметра системы. Пример: раскачивание качелей. Приседая в крайних положениях и выпрямляясь в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции.

4. Различные по своей природе колебания обнаруживают много общего: они подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это даёт возможность создать единую теорию колебаний.

5. Рассмотрение теории колебаний в полном объёме требует знаний специальных разделов математики. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь элементарных основ этой теории.

21 КИНЕМАТИКА МЕХАНИЧЕСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ

1. Простейшими из периодических колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющиеся физические величины изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса. Это вид колебаний важно знать, во-первых, потому, что многие реальные колебания весьма близки к гармоническим; во-вторых, потому, что периодические негармонические колебания можно представить как результат наложения того или иного числа гармонических колебаний.

Изучение закономерностей гармонического движения естественно начать с механических колебаний материальной точки.

2. Механические гармонические колебания – это такое прямолинейное, неравномерное, периодическое движение, при котором по закону синуса или косинуса изменяются с течением времени параметры механического состояния (координаты и скорость) материальной точки. Если точка совершает гармонические колебания вдоль оси (рис.40), то кинетический закон её движения будет отражаться формулой:

(21.1)

В этой формуле: - координата, или смещение, материальной точки в момент времени (началу координат соответствует среднее

Рис.40

положение колеблющейся точки – так называемый центр колебаний); - наибольшее отклонение точки от среднего положения (амплитуда колебаний).

Аргумент (21.2)

стоящий под знаком косинуса в формуле (21.1) называется фазой колебаний в момент времени . Как видно из (21.2), в процессе колебаний фаза монотонно возрастает. За одно полное колебание она получает приращение, равное 2π. Мгновенное значение фазы характеризует состояние колеблющейся точки, поскольку каждому значению фазы отвечает вполне определенная координата. Величина определяет приращение фазы за промежуток времени , величина - значение фазы в начальный момент времени (начальная фаза). Коэффициент - характеристический параметр колебаний, называемый циклической

(или круговой) частотой. Циклическая частота определяет быстроту изменения фазы с течением времени. Действительно, из (21.2) следует, что (21.3)

Циклическая частота показывает, как часто повторяются одни и те же состояния колеблющейся системы.

На рис.41 изображен график зависимости фазы некоторого колебания от времени. Из рисунка видно, что наклон графика определяется величиной . Чем круче идёт график, тем быстрее изменяется фаза, тем чаще повторяются одни и те же состояния.

3. Пользуясь формулой (21.3), легко установить связь между частотой и периодом За один период фаза увеличивается на 2π. Подставив и 2π в формулу (21.3) получим

(21.4) или (21.5)

Так как - частота колебаний , то (21.6)

Рис.41

Как видно из этой формулы, циклическая частота показывает, сколько полных колебаний совершается за 2π сек.

4. Из формулы (21.1) видно, что гармоническое колебание является движением финитным (пространственно ограниченным): в процессе колебаний материальная точка не выходит за пределы некоторого ограниченного отрезка (рис.40). За одно полное колебание в каждой точке траектории, кроме самых крайних, колеблющаяся точка бывает дважды: один раз двигаясь в одном направлении, другой раз - в противоположном. Заметим, что при неколебательном движении каждую точку траектории тело проходит, двигаясь только в одном направлении.

5. Продифференцируем (21.1) по времени. Первая производная от по дает выражение для проекции на ось скорости, вторая – для

проекции ускорения.

(21.7)

(21.8)

(производные по времени в теории колебаний принято обозначать точ-кой над дифференцируемой величиной: одна точка обозначает первую производную, две – вторую).

Как следует из (21.7) и (21.8), при гармонических колебаниях проекции скорости и ускорения на ось изменяются с течением времени по гармоническому закону, с той же частотой , с какой происходят колебания координаты. Амплитуда колебаний скорости равна , амплитуда колебаний ускорения . Скорость опережает смещение по фазе на (или, что то же самое, отстаёт на , так как ), ускорение опережает смещение на (или отстаёт на , так как ).

Если колебания двух каких – либо физических величин смещены по фазе на , где k – любое целое число, то говорят, что они происходят в противофазе. Можно сказать, следовательно, что колебания координаты и проекции ускорения при гармоническом движении происходят в противофазе. Это означает, что когда смещение максимально, максимальна и абсолютная величина ускорения, когда то и , знак координаты и знак проекции ускорения на ось в любой момент времени противоположны. При отклонении точки от центра колебаний вправо > 0, но < 0, при отклонении влево < 0, но > 0, т.е. ускорение всегда направлено к центру колебаний (рис.40).

Графики приведены на рисун-

ке 45, а, б, в.

Смещение в системе СИ измеряется в метрах, фаза в радианах, циклическая частота в радианах в секунду, период – в секундах, частота – в герцах.

Радиан в секунду – циклическая частота таких колебаний, при которых фаза за 1 секунду возрастает на .

Герц – частота таких колебаний, при которых за 1 секунду совершается одно полное колебание (или, что то же самое, фаза возрастает на ).

22 ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ. УПРУГИЕ И КВАЗИУПРУГИЕ СИЛЫ

1. Выясним, какими силами обусловлены гармонические колебания. Пусть материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси . По второму закону Ньютона

(22.1)

в проекциях на ось :

(22.2)

По (21.8) (22.3)

подставив это выражение в (22.2), получим:

(22.4)

Как и следовало ожидать, сила, вызывающая гармонические колебания, должна изменяться с течением времени также по гармоническому закону. Выражение (22.4) позволяет найти значение проекции этой силы на ось для любого момента времени. Как видно из формул (22.3) и (22.4), фазы проекций ускорения и силы в любой момент времени совпадают. График изображен на рисунке 45, г.

2. Введем обозначение (22.5)

Кроме того, учтем, что Тогда формула (22.4) будет выглядеть так:

(22.6)

Из того, что проекция силы и координата противоположны по знаку, следует, что эта сила всегда направлена к положению равновесия. Ус-ловию (22.6) удовлетворяют упругие силы. Закон Гука, выражающий зависимость между возникающей в теле упругой силы и величиной деформации, выражается точно такой же формулой, как и (22.6).

Гармонические колебания могут быть вызваны также силами, которые не являются упругими по своей природе. Силы, не являющиеся упругими по своей природе, но подобные упругим по характеру зависимости от координат, называются квазиупругими.

Доказано также, что какой бы ни была зависимость силы, действующей на тело, от координат, тело будет совершать колебания, весьма близкие к гармоническим, если его смещение от положения устойчивого равновесия мало. Любые малые колебания являются гармонически-ми. Груз на пружине или на нити, вагон на рельсах, корабль на воде, фундамент здания, ветви деревьев и т.д. – все эти системы будут совершать гармонические колебания, если амплитуды этих колебаний малы (строго говоря, бесконечно малы).

То, что колебания являются гармоническими, имеет простое объяснение. Пусть сила зависит от по произвольному закону и при обращается в нуль. Тогда кривая проходит через начало координат (рис.42).

Бесконечно малый отрезок этой кривой в окрестности можно считать отрезком прямой линии (границы этого отрезка на рисун-

ке 42 обозначены точками), следовательно, в небольшом интервале значений силу можно считать пропорциональной . А такая сила вызывает гармонические колебания.

Рис.42

Так как силы, возникающие при отклонении механической системы от положения устойчивого равновесия, всегда стремятся вернуть эту систему в первоначальное состояние, их часто называют возвращающими или восстанавливающими.

3. Введём понятие гармонического осциллятора. Это понятие потребуется при изложении некоторых последующих разделов.

Гармоническим осциллятором называется любая физическая система, совершающая гармонические колебания. Так, каждый атом твёрдого тела можно рассматривать как трёхмерный (имеющий три степени свободы) гармонический осциллятор, поскольку атом удерживается в положении равновесия некоторой квазиупругой силой. Если колебания осциллятора происходят вдоль одной прямой, осциллятор называется линейным или одномерным (с одной степенью свободы). Пример: груз на пружине, совершающий вертикальные колебания.

4. Всё, что было сказано о гармонических колебаниях, справедливо лишь при условии, что колебания системы совершаются беспрепятственно, т.е. в отсутствие трения.

5. Рассмотрим некоторые примеры собственных колебаний, совершающихся в отсутствие трения под действием одних только упругих или квазиупругих сил.

1. Собственные колебания груза на пружине

Будем полагать, что вся масса m рассматриваемой системы (рис.43) сосредоточена в грузе; пружина обладает идеальной упругостью и, следовательно, закон Гука для неё в точности выполняется. Ось направим вертикально вниз. Координату груза, когда он находится в состоянии равновесия, примем равной нулю. Как видно из рисунка 43,

Рис.43

смещению груза вверх соответствуют отрицательные координаты, смещению вниз – положительные.

Составим дифференциальное уравнение колебаний груза. Дифференциальное уравнение механического движения вообще – это, в сущности, математическое выражение второго закона Ньютона, формула, связывающая массу тела, действующую на него силу и ускорение, приобретаемое телом под действием этой силы. Однократное интегрирование этого уравнения дает зависимость от времени скорости, двукратное – координат (последняя зависимость называется интегральным законом движения).

Колебания груза на пружине в отсутствие трения происходит под действием упругой силы. Для изображенного на рисунке 43, б положения имеем: .

Величина k называется жёсткостью пружины. Жёсткость численно равна упругой силе, возникающей в пружине при единичном растяжении или сжатии её. Жёсткость пружины зависит от материала пружины и её геометрии – формы, диаметра витков, густоты витков, длины пружины и т.д.

Сила сообщает грузу ускорение .

По второму закону Ньютона или , или Разделив обе части последнего уравнения на и введя обозначение (в соответствие с (22.5)), получим искомое дифференциальное уравнение собственных гармонических колебаний:

(22.7)

Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

(22.8)

где и - амплитуда колебаний и начальная фаза.

Найдём период колебаний груза. По (21.5) , но, Следовательно, (22.9)

Частота колебаний (22.10)

Итак, чем больше масса груза и чем меньше жесткость пружины, тем медленнее происходят колебания. Существенно отметить, что период и частота колебаний не зависят от амплитуды.

Амплитуда и начальная фаза собственных незатухающихгармонических колебаний зависят от начальных условий – параметров состояния в начальный момент времени: от и . Положив в формулах (22.8) и (21.7) , получим выражения для и :

Откуда (22.11)

(22.12)

2. Колебания математического маятника

Математический маятник (рис.44) представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити.

Реальным приближением к математическому маятнику может служить небольшой шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать

углом (рис.44). Формула, выражающая зависимость этого угла от

времени, и будет представлять собой закон движения маятника.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент , модуль которого равен , где - масса маятника, - его длина. Направление этого момента таково, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия, т.е. по своему действию он аналогичен квазиупругой силе. Поэтому так же, как координате и проекции силы приписываются противоположные знаки, противоположные знаки следует приписать вращательному моменту и угловому смещению . Следовательно, выражение для вращательного момента будет иметь вид:

. (22.13)

Вращательный момент, действующий на маятник, сообщит маятнику угловое ускорение . По основному уравнению динамики вращательного движения , где - момент инерции маятника, равный . Угловое ускорение равно второй производной от углового смещения по времени: . Учитывая это, можно записать:

(22.14)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. При малых углах можно заменить на : .

Тогда вращательный момент будет равен:

Подставив это выражение в основное уравнение движения (22.14), по-

лучим:

или (22.15)

Обозначив , найдем искомое дифференциальное уравнение движения маятника

(22.16)

Решение этого уравнения имеет вид:

, (22.17)

т.е. малые колебания математического маятника являются гармоническими. Период этих колебаний

, (22.18)

частота

. (22.19)

23 ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

1. Найдём выражение для импульса и энергии линейного гармонического осциллятора, совершающего колебания вдоль оси .

Выражение для проекции импульса на ось получим, умножив массу осциллятора на проекцию скорости по (21.7):

. (23.1)

Проекция импульса гармонического осциллятора изменяется по гармоническому закону. Её амплитудное значение . График изображен на рисунке 45, д.

В процессе колебаний происходят периодические превращения кинетической энергии осциллятора в потенциальную энергию и обратно.

Кинетическая энергия осциллятора: (23.2)

где - коэффициент упругой или квазиупругой силы.

Потенциальная энергия осциллятора:

. (23.3)

Как видно из формул (23.2) и (23.3), и потенциальная, и кинетическая энергия гармонического осциллятора – величины положительные. Их изменения происходят с частотой, превышающей частоту самих колебаний в два раза. Графики и осциллятора изображены на рисунке 45,е, ж. Полная энергия осциллятора: (23.4)

оказывается пропорциональной квадрату амплитуды и не зависит от времени. Так оно и должно быть, ибо гармонический осциллятор – система консервативная.

24 ЗАТУХАЮЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

1. В реальных условиях механические колебания всегда происходят в какой-либо среде. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рассеянию (диссипации) энергии колебаний в окружающем пространстве (механическая энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды). В результате колебания постепенно затухают.

2. Действие среды может быть учтено введением в дифференциальное уравнение колебаний дополнительной силы сопротивления. В отсутствие сухого трения и при небольших скоростях (это отвечает малым колебаниям) сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: , (24.1)

где - коэффициент сопротивления (численно равен силе сопротивления, действующей на тело при единичной скорости движения).

Знак минус означает, что направления силы сопротивления и скорости противоположны. Из (24.1) следует:

3. При наличии сопротивления ускорение материальной точки, совершающей колебания, обусловлено действием двух сил: возвращающей (упругой или квазиупругой) и силы сопротивления. По второму закону Ньютона

В проекциях:

или .

Разделив обе части этого уравнения на , перенеся все слагаемые в левую часть и введя обозначения

и ,

получим дифференциальное уравнения собственных затухающих колебаний:

(24.2)

Решение этого уравнения при имеет вид:

(24.3)

В этом уравнении:

- амплитуда колебаний в начальный момент времени; - начальная фаза (обе эти величины зависят от начальных условий); - циклическая частота затухающих колебаний; - коэффициент затухания - величина, характеризующая быстроту затухания.

Как видно из (24.3), затухающие колебания не являются гармоническими: амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному

закону:

(24.4)

На рисунке 46 приведён график затухающих колебаний. График не вы ходит за пределы огибающих

4. Зная, как уменьшается с течением времени амплитуда затухающих колебаний, можно найти закон уменьшения энергии этих колебаний. По (23.4)

Подставим вместо соответствующее выражение по (24.4):

Но - начальная энергия колебаний . Учитывая это, получим:

(24.5)

Таким образом, энергия затухающих колебаний уменьшается также по экспоненциальному закону.

5. Циклическая частота затухающих колебаний системы связана с циклической частотой собственных незатухающих колебаний

этой системы соотношением:

. (24.6)

Величину (24.7)

называют условным периодом затухающих колебаний (период затухающих колебаний называется условным потому, что такие колебания, строго говоря, не являются периодическими).

Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени , за который система дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении, или, что то же самое, промежуток времени, за который отклонения в одну и ту же сторону дважды достигают максимума.

Период затухающих колебаний больше периода колебаний такой же системы в отсутствие сопротивления. Это понятно: силы сопротивления тормозят движение, в результате чего система возвращается к равновесию медленнее.

6. Отношение двух последующих амплитуд, т.е. амплитуд в моменты времени и

(24.8)

называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

(24.9)

Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, коэффициент затухания – за единицу времени.

7. Важной характеристикой затухающих колебаний является также так называемое время релаксации - время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Из условия получаем: . (24.10)

Таким образом, коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации.

За время система совершит колебаний. Подставив в это соотношение вместо и соответствующие выражения по (24.10) и (24.9), получим:

(24.11)

Из этой формулы видно, что логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации. Примеры логарифмических декрементов:

кварцевая пластина - ;

камертон - ;

математический маятник - .

8. При увеличении сопротивления период затухающих колебаний становится всё больше и больше. При он обращается в бесконечность. Это означает, что движение перестаёт быть периодическим. Система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний (такое движение называется апериодическим). Вообще движение перестаёт быть колебательным при любом , удовлетворяющем условию: .

25 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РЕЗОНАНС

Если на систему, кроме упругой или квазиупругой силы и силы сопротивления, действует также внешняя периодическая сила, система будет совершать вынужденные колебания. Пусть внешняя сила (будем называть эту силу вынуждающей) изменяется по гармоническому закону:

, (25.1)

где - амплитуда силы; - циклическая частота изменений этой силы.

При наличии вынуждающей силы дифференциальное уравнение колебаний имеет следующий вид:

или (25.2)

где - коэффициент затухания; - циклическая частота собственных незатухающих колебаний; - вынуждающая сила, отнесенная к единице массы.

Общее решение этого неоднородного линейного дифференциального уравнения складывается из двух частей: общего решения соответствующего однородного уравнения, определяющего собственные затухающие колебания:

, (25.3)

и частного решения, характеризующего вынужденные колебания:

. (25.4)

Результирующее решение системы в любой момент времени равно сумме :

(25.5)

Таким образом, при наличии вынуждающей силы в системе одновременно возникают и собственные, и вынужденные колебания.

Собственные колебания постепенно затухают и по истечении некоторого времени (называемого временем установления колебаний) становятся пренебрежимо малыми по сравнению с вынужденными колебаниями. В системе устанавливаются вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы:

. (25.6)

Амплитуда вынужденных колебаний и величина , определяющая сдвиг фаз между координатой и вынуждающей силой, в отличие от амплитуды и фазы собственных колебаний, не зависят от начальных условий. Соответствующий расчет показывает, что для данной колебательной системы, определяемой параметрами и , амплитуда вынужденных колебаний зависит от массы системы, от амплитуды и частоты вынуждающей силы, а фаза - от частоты вынуждающей силы:

; (25.7)

. (25.8)

Проанализируем уравнение (25.7).

Рассмотрим случай, когда затухание мало. Для этого случая при « в подкоренном выражении всеми слагаемыми, кроме , можно пренебречь.

Тогда: . (25.9)

При малых частотах вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний практически равна величине статического смещения, которое вызвала бы сила .

Если » , то , (25.10)

При .

При некотором значении подкоренное выражение минимально,

следовательно, амплитуда максимальна. Найдём частоту (она называется резонансной), соответствующую максимуму амплитуды. Для этого продифференцируем подкоренное выражение по и приравняем производную нулю:

откуда

(25.11)

(отрицательное значение корня следует отбросить – частота не может быть отрицательной).

Подставив в подкоренное выражение (25.7), получим:

(25.12)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте называется резонансом.

Кривая зависимости называется резонансной кривой. На рисунке 47 изображены резонансные кривые соответствующие различным .

Как видно из формулы (25.12), высота максимума резонансной кривой тем больше, чем меньше затухания . Кроме того, чем меньше , тем «острее» максимум резонансной кривой. В идеальном случае – в отсутствие сопротивления – амплитуда вынужденных колебаний обращается в бесконечность.

В области резонанса создаются наиболее благоприятные условия для поступления в систему энергии от внешнего источника.

26 СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Часто бывает так, что материальная точка одновременно участвует в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения.

Сложение колебаний в общем случае производится аналитически, но в ряде случаев может быть осуществлено геометрически, при помо-

щи так называемого вектора амплитуды.

Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.