Линейны пространства сигналов

Линейное пространство – это множество элементов, которые называют векторами, и для которых справедливо:

1) Для каждой пары векторов и из множества существует вектор , принадлежащий этому же множеству и называемый их суммой и , такой, что выполняются свойства:

а) - коммутативность;

б) - ассоциативность; (1.2.5а)

в) , где - нулевой элемент, единственный в множестве;

г) , причем - единственный в множестве векторов.

2) Имеется множество элементов, которые называются скалярами и образуют поле. При этом операция умножения вектора на скаляр ставит любому скаляру и любому вектору в соответствие вектор . При этом выполняются свойства:

а) - ассоциативность;

- дистрибутивность;

г) , .

Заметим, что линейное пространство содержит два различных нуля при сложении: один для векторов ( - нулевой элемент), другой для скаляров.

В теории сигналов обычно рассматриваются линейные пространства сигналов с конечными полями скаляров (например, бинарные, в которых используются только 0 и 1. Поэтому отождествлять поле скаляров с множеством всех действительных чисел не всегда удобно.

Если в качестве скаляров взяты действительные числа, линейное пространство называется действительным линейным пространством, если комплексные, то - комплексным линейным пространством.

Вектор

, (1.2.6)

образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией. Множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство. Множество сигналов называется линейно независимым, если равенство

(1.2.7)

справедливо только при всех , равных нулю. Таким образом, в линейно независимом пространстве вектор не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов.

Пусть – пространство линейных комбинаций линейно независимых векторов . Тогда каждый вектор в соответствует единственной линейной комбинации векторов , т.е. единственному множеству скалярных коэффициентов. При этом является ‑мерным линейным пространством. Множество называют базисом для и говорят, что натянуто на этом базисе. Заметим, что линейное пространство имеет множество базисов, т.к. базисом может служить любое множество линейно независимых векторов.

Например, пусть , - упорядоченные последовательности из чисел. Тогда при сложении имеем:

, (1.2.8)

а при умножении:

. (1.2.9)

Очевидно, что любой вектор в ‑мерном пространстве можно представить в виде линейной комбинации

, (1.2.10)

где

(1.2.11)

Заметим, что упорядоченную последовательность скалярных коэффициентов или также можно трактовать как вектор. Тогда можно говорить, что имеется однозначное соответствие между векторами в пространстве и векторами в пространстве или .