Пространства сигналов со скалярным произведением

Для улучшения структуры пространства сигналов вводят еще одну геометрическую характеристику – скалярное произведение двух сигналов (векторов), являющуюся отображением упорядоченных пар сигналов линейного пространства в комплексную плоскость (в частном случае на действительную ось). Скалярное произведение будем обозначать как . При этом оно должно удовлетворять следующим условиям:

1) ;

2) ; (1.2.16)

3) .

Покажем, что

(1.2.17)

есть норма линейного пространства и удовлетворяет требованиям (1.2.12). Очевидно, что условия

и

выполняются по определению. Покажем, что выполняется и неравенство треугольника. Для этого предварительно докажем, что

. (1.2.18)

Возьмем вектор , где - скаляр. По определению

. (1.2.19)

Положив , из (2.19) получаем неравенство

, (1.2.20)

из которого сразу следует (1.2.18).

Теперь докажем неравенство треугольника. Для этого используем равенство .

,

где

, , , .

Тогда

,

откуда получаем

. (1.2.21)

Таким образом, скалярное произведение сигналов порождает норму, а та в свою очередь - метрику.

Если пространство со скалярным произведением является метрически полным, то оно называется гильбертовым пространством сигналов.

Скалярное произведение часто интерпретируют как меру угла между векторами. Так, исходя из неравенства Шварца можно записать

, (1.2.22)

и тогда

. (1.2.23)

Очень часто используется понятие ортогональности векторов. Два вектора (сигнала) и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Приведем пример использования скалярного произведения для сигналов с ограниченной энергией. Пусть сигнал сдвигается во времени. Обозначим через сигнал , сдвинутый во времени на , т.е.

.

Тогда для пространства имеем

(1.2.24)

где .

Таким образом, каждому сигналу ставится в соответствие действительная функция от временного сдвига, которая определяет вызванное таким сдвигом смещение точки, изображающей сигнал в пространстве сигналов. Для быстро изменяющихся сигналов уменьшается (сужается) с ростом . В случае короткого сигнала , будет узкой, но, как видно из рис. 1.6, и сигналу большой длительности может соответствовать «узкая» . При решении многих практических задач используют сигналы с узкой . Например, в радиолокации, где эту функию называют сечением функции неопределенности вдоль оси времени , это позволяет с высокой точностью измерить время прихода сигнала. При исследовании случайных сигналов ту же функцию называют автокорреляционной функцией сигнала .

1.2.6. Представление элементов векторного пространства со

скалярным произведением

Существует прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что - произвольное мерное пространство, натянутое на базис , тогда для имеем

. (1.2.26)

Если левую и правую часть умножить скалярно на , то

. (1.2.27)

Получим систему линейных скалярных уравнений, решив которую относительно вектор-строки получим представление в пространстве относительно базиса .

Выберем так, чтобы они были попарно ортогональны к , т.е.

(1.2.28)

Тогда получаем

Откуда

. (1.2.29)

Базис , удовлетворяющий (1.2.28), называется взаимным базисом, для которого при любом получаем

. (1.2.30)

Очень удобно использование в качестве базиса в ортонормальной системы. Напомним, что система векторов называется ортонормальной, если взаимным базисом для нее является она сама. При этом все векторы взаимно ортогональны и их норма равна единице:

. (1.2.31)

Тогда для любого сигнала имеем

. (1.2.32)

То есть получаем взаимно-однозначное соответствие между векторами в и их представлением в . В этом случае обеспечивается равенство скалярных произведений в векторном и скалярном пространствах (). Так для и имеем

. (1.2.33)

Важное значение имеет построение ортогональных базисов. Одним из наиболее употребляемых способов при этом является так называемый рекуррентный способ ортогонализации Грама-Шмидта, который заключается в следующем.

Пусть в задана система линейно независимых векторов. Тогда система ортонормальных векторов получается путем нормализации вспомогательных векторов по следующему правилу:

, ,

, ,

, , (1.2.34)

. . . . . . .

, .

Заметим, что если функции переставить местами, то получим другую, но тоже ортонормальную систему.

Рассмотрим пример. Применим процедуру Грама-Шмидта к последовательности функций , определенных на отрезке . В этом случае .

, , ,

, , ,

,

,

. . . . . . .