Дискретное представление сигналов
1.3.1. Подпространства сигналов с конечной энергией ( )
Рассмотрим задачу численного представления произвольного сигнала с ограниченной энергией . Пусть нужно найти отображение
в пространство
. При этом
выбирается исходя из требуемой точности и экономичности представления сигналов. Так как число измерений пространства
бесконечно (поскольку сигнал считаем произвольным), а
конечно, отображение должно быть типа «много в одно». При этом произвольный сигнал из
не может быть представлен в
отлично от всех остальных сигналов. Поэтому пространство
разбивается на множества эквивалентности, каждому из которых взаимно однозначно соответствует некоторая точка в
.
Выберем -мерное пространство следующим образом. Пусть
- система линейно-независимых функций из
, таких, что при
условие
(1.3.1)
выполняется в том и только том случае, если для всех
. Натянем на
линейное подпространство
. Тогда сигнал
, принадлежащий
, может быть представлен
единственным образом в виде линейной комбинации:
, (1.3.2)
где коэффициенты образует искомое представление в
.
Поскольку есть пространство со скалярным произведением и учитывая, что в соответствии с ()
,
,
отношением между и
может быть выражено в матричной форме:
или
, (1.3.3)
где: ;
.
Откуда можно найти :
. (1.3.4)
Для другого способа нахождения введём в
взаимные базисные функции
и выразим их через базисные функции
,
. (1.3.5)
Опричем
(1.3.6)
есть символ Кронекера.
Следовательно, в целом для системы:
, (1.3.7)
тогда
. (1.3.8)
Заметим, что в обоих подходах нахождения коэффициентов разложения нужно вычислять обратные матрицы.
Теперь рассмотрим, как находить представление произвольного сигнала из , не принадлежащего
. Для этого произвольному вектору
поставим в соответствие вектор
, наиболее близкий к
. Таким образом, каждый вектор из
порождает множество эквивалентностей:
, (1.3.9)
при этом все векторы из будут иметь одно и то же представление в виде набора
чисел, совпадающее с представлением вектора
.
Важное значение в теории сигнала имеет теорема проектирования, утверждающая, что для любого вектора существует единственный вектор
, задаваемый разложением
, (1.3.10)
такой, что разность ортогональна ко всем векторам из
и
, где
-любой другой вектор из
.
Докажем это.
. (1.3.11)
Отсюда следует, что вектор ортогонален ко всем векторам в
. Для того, чтобы показать, что
- минимальная из всех
, рассмотрим произвольный вектор
:
(1.3.12)
Поскольку т.к. , средние слагаемые пропадают, и мы имеем
, (1.3.13)
откуда следует, что минимум достигается при .
Вектор
называют ортогональной проекцией вектора
на
, а вектор
погрешностью приближения вектора
вектором
.
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 1540;