Дискретное представление сигналов

1.3.1. Подпространства сигналов с конечной энергией ( )

Рассмотрим задачу численного представления произвольного сигнала с ограниченной энергией . Пусть нужно найти отображение в пространство . При этом выбирается исходя из требуемой точности и экономичности представления сигналов. Так как число измерений пространства бесконечно (поскольку сигнал считаем произвольным), а конечно, отображение должно быть типа «много в одно». При этом произвольный сигнал из не может быть представлен в отлично от всех остальных сигналов. Поэтому пространство разбивается на множества эквивалентности, каждому из которых взаимно однозначно соответствует некоторая точка в .

Выберем -мерное пространство следующим образом. Пусть - система линейно-независимых функций из , таких, что при условие

(1.3.1)

выполняется в том и только том случае, если для всех . Натянем на линейное подпространство . Тогда сигнал , принадлежащий , может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации:

, (1.3.2)

где коэффициенты образует искомое представление в .

Поскольку есть пространство со скалярным произведением и учитывая, что в соответствии с ()

, ,

отношением между и может быть выражено в матричной форме:

или

, (1.3.3)

где: ; .

Откуда можно найти :

. (1.3.4)

Для другого способа нахождения введём в взаимные базисные функции и выразим их через базисные функции ,

. (1.3.5)

Опричем

(1.3.6)

есть символ Кронекера.

Следовательно, в целом для системы:

, (1.3.7)

тогда

. (1.3.8)

Заметим, что в обоих подходах нахождения коэффициентов разложения нужно вычислять обратные матрицы.

Теперь рассмотрим, как находить представление произвольного сигнала из , не принадлежащего . Для этого произвольному вектору поставим в соответствие вектор , наиболее близкий к . Таким образом, каждый вектор из порождает множество эквивалентностей:

, (1.3.9)

при этом все векторы из будут иметь одно и то же представление в виде набора чисел, совпадающее с представлением вектора .

Важное значение в теории сигнала имеет теорема проектирования, утверждающая, что для любого вектора существует единственный вектор , задаваемый разложением

, (1.3.10)

такой, что разность ортогональна ко всем векторам из и , где -любой другой вектор из .

Докажем это.

. (1.3.11)

Отсюда следует, что вектор ортогонален ко всем векторам в . Для того, чтобы показать, что - минимальная из всех , рассмотрим произвольный вектор :

(1.3.12)

Поскольку т.к. , средние слагаемые пропадают, и мы имеем

, (1.3.13)

откуда следует, что минимум достигается при .

Вектор называют ортогональной проекцией вектора на , а вектор погрешностью приближения вектора вектором .