Примеры полных ортонормальных функций

Приведем несколько примеров ортонормальных систем функций, используемых для представления сигналов с заданными областью определения и весовой функцией .

1. Комплексные гармонические функции

Для комплексных гармонических функций и , функции уже ортогональны (указать на пример, где будет искаться взаимный базис), следовательно, для получения ортонормальной системы их нужно нормировать, то есть поделить на норму соответствующей функции ряда. Найдем эту норму

.

Представление сигнала с помощью ???

, (1.3.21)

где

это представление рядом Фурье функций, которые ограниченны на отрезке или периодические с периодом, равным 2. Однако это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, который можно привести к интервалу выбором подходящего масштаба по оси времени.

Рассмотрим пример. Пусть требуется с помощью гармонических функций представить сигнал, приведенный на рис.

Задан трапецевидный сигнал на интервале (рис. 1):

Необходимо представить его рядом комплексных гармонических функций, то есть в виде

.

Комплексные гармонические функции определены на интервале , следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в раза, а затем произведем сдвиг на влево. Новый сигнал будет описываться формулой .

Коэффициенты разложения найдем по формуле

.

Затем переходим к исходному масштабу и получаем аппроксимированный исходный сигнал. Графики для различных приведены на рис. 2.

2. Полиномы Лежандра

Для и можно получить другую ортонормальную систему, применив процедуру Грама-Шмидта к последовательности (указать, где мы это сделали). В результате получаются нормированные полиномы:

(1.3.22)

где - полиномы Лежандра. Эти полиномы можно также считать по формуле

(1.3.23)

или по рекуррентной формуле

. (1.3.24)

Полином имеет нулей, все они вещественны и находятся в интервале .

Разложим рассмотренный выше сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле

.

Аппроксимированный сигнал представлен на рис.

3. Полиномы Чебышева

Для и полиномы

(1.3.25)

где - полиномы Чебышева образуют ортонормальную систему.

Для удовлетворяют рекуррентной формуле

. (1.3.26)

Свойствополиномов Чебышева: из всех полиномов -ой степени, имеющих коэффициент при , равный 1, на интервале наименее отклоняются от нуля.

Без весовой функции

.

С весовой функции

.

4. Функции Лагерра

Для и полиномы

(1.3.27)

образуют ортонормальную систему. Здесь - полиномы Лагерра, задаваемые формулой

. (1.3.27)

Они имеют вещественных нулей на и удовлетворяют рекуррентному соотношению

. (1.3.28)

Функции Лагерра имеют единичный вес и ортонормальны на

.

Они также могут быть получены применением процедуры Грама-Шмидта к последовательности . Функции Лагерра могут быть реализованы практически как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конечного порядка. Для этого их записывают как

. (1.3.29)

Функции имеют преобразование Лапласа вида

, (1.3.30)

откуда видно, что -ая функция Лагерра - это импульсная реакция цепи, один каскад которой имеет передаточную функцию , а последующих одинаковы с функцией , т. е. это фазовращатели, не изменяющик энергию сигнала. Это так называемый «трансверсальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лaгерра.

5. Функции Лежандра

Подстановка преобразует интервал для величины в интервал для величины , поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на ( - произвольный дествительный положительный параметр). Функции Лежандра

. (1.3.31)

Образуют ортонормальную систему на с единичным весом. Преобразования Лапласа от этих функций имеют полюсы при

6. Функции Чебышева

Преобразованием Чебышева получаем функции

, (1.3.32)

которые ортонормальны с весом на . Полюсы преобразования Лапласа получаются при

7. Функции Эрмита

Для и полиномы

(1.3.33)

образуют ортонормальную систему. - полиномы Эрмита, которые задаются в виде

(1.3.34)

или рекуррентной формулой

. (1.3.35)

Функций Эрмита

(1.3.36)

ортонормальны с единичным весом на и могут быть получены процедурой Грама-Шмидта к последовательности .

8. Функции Уолша

Для и можно построить полную ортонормальную систему функций типа типа «прямоугольных волн». Каждая -ая функция содержит прямоугольных волн, поэтому в обозначении функции удобно использовать два индекса: .

(1.3.37)

Эта система важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимаю лишь два значения ( или ). Подобные сигналы могут быть легко получены с помощью двоичных логических схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции (1.3.37) так, чтобы -ая функция раз пересекала нулевой уровень на интервале (т.е. раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:

, (1.3.38)

где (рис. 1.8).

Функции Уолша определены на интервале , следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в . Новый сигнал будет описываться формулой .

Коэффициенты разложения найдем по формуле

.

.