Метрические пространства сигналов

После объединения различных, но обладающих каким-то общим свойством, сигналов в одно множество нас начинают интересовать отличающиеся свойства отдельных элементов этого множества. Вызвано это тем, что каждый сигнал представляет интерес лишь в сравнении его с другими сигналами этого множества. Например, нас может интересовать амплитуда, энергия или длительность сигнала по сравнению с аналогичными параметрами других сигналов.

Общий подход для исследования различий между сигналами множества состоит в том, что каждой паре сигналов ставится в соответствие действительное положительное число, которое трактуется как расстояние между сигналами. После этого множество приобретает геометрические свойства.

Это равносильно введению функционала , отображающего все пары сигналов множества на действительную ось

.

Функционал называется метрикой и обладает следующими свойствами:

а) (свойство симметрии);

б) при и при (не отрицательность); (1.2.1)

в) (неравенство треугольника).

Свойство а) отражает симметрию, свойство б) говорит о том, что расстояние не может быть отрицательным, свойство в) называют неравенством треугольника: длина одной стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон (представляя точки , и как вершины треугольника).

Множество сигналов с подходящим образом определенным расстоянием представляет собой пространство сигналов.

Если множество обладает некоторой метрикой , то оно называется метрическим пространством . Например, действительная ось является метрическим пространством с метрикой

. (1.2.2)

Эту метрику называют обычной метрикой. Часто используют и другие метрики. Например, если , являются упорядоченными множествами (кортежами), то примеры возможных метрик дают следующие функционалы:

а) - эту метрику называют манхеттовым расстоянием;

б) - эту метрику называют евклидовым расстоянием; (1.2.3)

в) .

Метрика б), в частности, используется для комплексных чисел: модуль числа равен .

Приведем пример еще одной метрики, используемой для последовательностей двоичных символов, состоящих из нулей и единиц – кодовых слов фиксированной длины. Если слова содержат по символов, то расстояние между словами можно определить как

, (1.2.4)

т.е. как сумму несовпадающих символов в одноименных разрядах двоичных слов. Данное расстояние называют расстоянием по Хеммингу и используют, например, в системах связи для обнаружения и исправления ошибочных символов. Для этого заданием расстояния между любой парой слов, равного числу несовпадающих символов, из множества допустимых слов образуется метрическое пространство. Рассмотрим примеры кодов с обнаружением и коррекцией.

Ниже приведены восемь кодов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы в наборе а) минимальное расстояние между любой парой слов было равно 2.

Это может быть достигнуто добавлением к трем информационным разрядам разряда проверки на четность

.

При этом каждое слово содержит четное число единиц. Поскольку минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном разряде может быть обнаружено.

Если к разрядам добавить еще разряды проверки на четность и , то получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получаем уже корректирующий код, т.к. появление однократной ошибки (т.е. одного ошибочного символа в слове) приводит к получению кода, который ближе к правильному коду, чем ко всем остальным, поскольку отличается от него только на единицу.

1.2.2. Сходимость последовательностей сигналов

Рассмотрим свойство бесконечных последовательностей сигналов, которое связано с понятием расстояния и называется сходимостью. Говорят, что последовательность сигналов сходится, если существует такое , что для любого найдется положительное число , такое, что при

.

(Иногда это записывают как: .)

Любая последовательность, обладающая таким свойством, называется последовательностью Коши.

Заметим, что последовательность Коши может не быть сходящейся только потому, что элемент , к которому в пределе стремится последовательность, может не принадлежать множеству .

Если метрическое пространство обладает свойством, что все последовательности Коши в нем являются сходящимися, то оно называется полным.