Метод вычисления частных производных.


Если бы вам нужно было вычислить производную функции, содержащей параметр C, например , то понятно, что = . Так вот, аналогично, если функция нескольких переменных, то при дифференцировании по одной из них, остальные в роли параметров, то есть вы можете мысленно «заморозить» их или даже переобозначить через A или C, а после вычисления производной, разморозить или переобозначить обратно.

Если то , .

Если объединить частные производные в один вектор, то получим .

этот вектор называется градиентом функции.

Кроме , применяется обозначение .

Если после вычисления частных производных фиксировать переменные, то есть взять конкретную точку, то получится градиент в точке. Это вектор, состоящий из чисел, а не функций.

Пример. Найти градиент функции в точке (1,1,1).

Решение. Найдём частные производные. , , . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем .

Пример.Пусть . Соответствующая поверхность - эллиптический параболоид. Градиент поверхности это вектор . Теперь, если фиксировать точку (1,0) то получим, что градиент равен (2,0) а если точку (1,1) то (2,2) и т.д. Градиент для этой функции всегда направлен радиально от начала координат.

И действительно, если точка находится под этой поверхностью, то она должна двигаться в направлении от центра, чтобы рост высоты поверхности над ней происходил быстрее всего. А для неявно заданной окружности, этот вектор как раз и является перпендикуляром. Заметим, что градиент ортогонален окружности, то есть горизонтальному сечению.



Дата добавления: 2016-11-29; просмотров: 1358;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.