Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.

Пусть на систему действует внешняя сила, меняющаяся со временем по гармоническому закону: , где F₀ – амплитуда силы (максимальное значение), w – угловая частота колебаний вынуждающей силы. Тогда уравнение движения будет иметь вид: = .

Разделим обе части этого уравнения на m и введем вновь обозначения: , тогда получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: = (1)

Решение этого уравнения, как известно из высшей математики, представляет собой сумму свободных и вынужденных колебаний:

Таким образом, вынуждающая сила раскачивает систему, сообщая ей запас энергии, и пополняет расходуемую энергию, поддерживая колебательное движение. В первый момент система совершает помимо вынужденных еще свободные колебания. Частота свободных колебаний определяется по известной формуле: . Эти колебания затухают, и устанавливаются колебания, частота которых равна частоте вынуждающей силы, то есть вынужденные колебания. Когда работа вынуждающей силы сравнивается с энергией потерь, колебания становятся установившимися. Амплитуда этих колебаний должна быть постоянной, если постоянна амплитуда вынуждающей силы.

Решение дифференциального уравнения при установившемся движении имеет вид: (2)

где А, j – величины, которые требуется определить, w – круговая частота колебаний внешней переменной силы. Подставляя (2) в (1) , получаем искомые величины:

(3) (4)

Амплитуда колебаний зависит от амплитуды и частоты внешних сил. При некоторой частоте внешних сил знаменатель в выражении (3) будет иметь минимальное значение, а амплитуда вынужденных колебаний – максимальное значение. Эта частота называется резонансной. Для ее нахождения, приравниваем к нулю производную:

,

Сократим на 4 : , откуда получим: .

Резонансная амплитуда:

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте w₀, называется резонансом.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющимися в упругой среде.

Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения. Поперечные волны возникают при деформациях сдвига.

Скорость распространения продольных волн в тонком стержне , где Е – модуль Юнга, r – плотность среды.

Скорость распространения поперечных волн в изотропном твердом теле , где – модуль сдвига.

Скорость распространения продольных (звуковых) волн в жидкости и в газе , где К – модуль объемной упругости среды, r – плотность среды. Например, в воздухе: , где Т – термодинамическая температура, измеренная по шкале Кельвина, t – температура, измеренная по шкале Цельсия.

При распространении колебаний в среде частицы не перемешаются вместе с волной, а лишь колеблются около своих положений равновесия. Поступательно перемещаются лишь фаза и энергия колебаний.

Графически волну изображают так же, как и колебания (рис.26.1).

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах, называется волновой поверхностью. В зависимости от формы волновой поверхности различают сферические, плоские, цилиндрические волны. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания с одинаковой фазой к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны является частным случаем волновой поверхности.

Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х (рис.26.1). Эта волна характеризуется: длиной волны, периодом, амплитудой, частотой, фазовой скоростью.

Расстояние, на которое определенная фаза распространяется за один период колебания, называется длиной волны l. Из рисунка видно, что l – это наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Скорость распространения волны - фазовая скорость. Фазовая скорость – равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы.

.

Волна, распространяющаяся в пространстве от какого-либо источника, называется бегущей волной.

Уравнением волны называется алгебраическое выражение, которое дает зависимость смещения колеблющейся точки s как функция ее координат (х) и времени t: .

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси 0Х, имеет вид: , (2)

где – начальная фаза колебаний; – фаза плоской бегущей волны.

Для характеристики волн используется волновое число k, характеризующее скорость изменения фазы в пространстве

. (3)

Учитывая (3), уравнение (2) примет вид: (4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси 0Х, отличается от (4) знаком члена kx.

Из условия получаем выражение для фазовой скорости: .

Волновая оптика

Тема 21. Интерференция света

Поскольку свет – разновидность электромагнитных волн, должно
наблюдаться явление интерференции света – устойчивое чередование максимумов и минимумов освещенности при наложении двух или нескольких когерентных световых волн. Такие проявления интерференции света, как переливы тонкой пленки масла на поверхности воды, радужные цвета
мыльных пленок – люди наблюдали давно, но не могли дать им объяснения.

Глаз

Рис. 7.1

Первым объяснил явление интерференции света английский ученый Т. Юнг (1773-1829), наблюдая отражение и преломление световых волн в тонких пленках (рис. 7.1). Белый свет, падая на тонкую пленку, частично (волна 1) отражается от верхней поверхности пленки, частично (волна 2), пройдя через пленку, отражается от ее нижней поверхности. Обе отраженные волны ( и ) отличаются оптической длиной пути (больший путь проходит волна, отраженная от нижней поверхности пленки). При этом происходит наложение этих волн, результат которого зависит от угла падения света на пленку, ее толщины,
показателя преломления n вещества и длины волны . Усиление света происходит, когда преломленная волна отстает от отраженной волны на целое число длин волн

,...),

,

,

m

(

m

=

=

D

l

Где – оптическая разность хода волн.

Также Т. Юнг понял, что различие в цвете связано с различием в длине волны. Другими словами, вне нас в природе нет никаких красок (цветов) – есть лишь электромагнитные волны разной длины (белый свет немонохроматичен, он содержит электромагнитные волны разной длины – от 400 до 760нм). Человеческий глаз – это оптический прибор, способный
фиксировать различия в длинах световых волн, то есть обнаруживать разницу
в цвете. Из-за того, что зависит от длины волны, максимумы интерференционной картины для разных длин волн получаются в разных точках сетчатки глаза. Именно поэтому тонкие пленки имеют радужную окраску.

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность – постоянство во времени разности фаз накладываемых волн. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны, то есть волны строго определенной частоты (длины волны) и постоянной амплитуды. Однако ни один реальный источник не дает строго монохроматического света.
Поэтому волны, излучаемые любыми независимыми источниками света
(например, несколькими электрическими лампочками), всегда некогерентные. Чтобы понять это, необходимо обратить внимание на механизм излучения света атомами вещества.

.

S

Линза

Щель

d

l

M

Интерференционная картина

Экран

О

Рис. 7.3

Наиболее распространенным способом получения когерентных волн от обычных источников (не лазеров) является искусственное разделение световой волны, излучаемой одним источником, на две составные части, которые после прохождения различных оптических путей накладываются друг на друга и создают интерференционную картину. Реализовать этот способ можно с помощью различных приборов: зеркал Френеля, бипризмы Френеля, щелей Юнга и др. На рис. 7.3 приведена схема интерференционной установки Т. Юнга, которая была использована им для измерения длины световой волны (1803).

Результат интерференции в точке М (максимум или минимум освещенности) на экране зависит от длины световой волны и разности хода волн от когерентных источников и . Если в плоскости О фаза колебаний
исходной световой волны была , то в точке М первая волна возбудит
колебание , вторая волна – колебание , где – фазовые скорости соответственно первой и второй волны, – показатели преломления сред, в которых распространяются волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М, равна

где λ₀ – длина волны в вакууме; произведение геометрической длины пути s световой волны в данной среде на показатель преломления n этой среды
называется оптической длиной пути ; – оптическая
разность хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

(7.1)

является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода волн

(7.2)

является условием интерференционного минимума.

S

O

Рис. 7.5

Из вышеизложенного следует, что явление интерференции обусловлено волновой природой света. Поэтому это явление используется для определения длин световых волн, для весьма точного (порядка 10^-7м) измерения размеров предметов, микронеровностей на поверхностях деталей, просветления оптики, определения показателя преломления прозрачных веществ. Рассмотрим некоторые применения интерференции.

1. Для прецизионных измерений длин волн и размеров тел используются интерферометры. В качестве примера рассмотрим устройство и принцип работы интерферометра Майкельсона (рис. 7.5).

Монохроматический свет от источника S
падает под углом 45⁰ на плоскопараллельную пластинку Р₁, одна из сторон которой покрыта тонким слоем серебра и полупрозрачна. За счет этого в точке О исходный луч света
разделяется на две части: луч 1 (отражается от серебра) и луч 2 (проходит через слой серебра). Луч 1 отражается от зеркала М₁ и, возвращаясь обратно, вновь проходит через пластинку Р₁ (луч ). Луч 2 идет к зеркалу М₂, отражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки Р₁ (луч ). Таким образом, зеркала М₁ и М₂ играют роль
вторичных источников света, то есть обеспечивают условие когерентности лучей и .

Так как первый из лучей проходит пластинку Р₁ дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча устанавливается пластинка Р₂ (такая же, что и Р₁, но без слоя серебра). Поэтому пластинку Р₂ называют компенсатором.

Лучи и когерентны, следовательно, будет наблюдаться интерференция, результат которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зеркала М₁ и обратно, и луча 2 от точки О до зеркала М₂

),

l

l

(

n

n

l

n

l

L

L

-

=

-

=

-

=

D

где – расстояния от точки О до зеркал М₁ и М₂, n – абсолютный показатель преломления воздуха.

Если , то  и наблюдается интерференционный максимум. Смещение одного из зеркал (с помощью микрометрических винтов) на расстояние приведет к появлению разности хода лучей

в результате чего возникнет интерференционный минимум:

Таким образом, по незначительному смещению интерференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр для точного измерения длины. Если поместить вместо одного из зеркал какую-либо деталь, можно по форме полос или колец контролировать качество ее обработки.

n

d

Стекло

Воздух

Просветляющий слой

Рис. 7.6

2. Особое место в применении интерференции занимает просветление оптики. При прохождении света через линзы или призмы от каждой из
поверхностей световой поток частично отражается. В сложных оптических системах, где много различных линз (биноклях, фотоаппаратах, перископах, дальномерах и др.), проходящий световой поток вследствие отражения может уменьшаться до 50% входящего в них света. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводит к возникновению бликов. Для устранения этих
недостатков оптических приборов и применяется просветление оптики.

Сущность метода заключается в том, что поверхности линз покрываются тонкими пленками, создающими интерференционные явления (рис. 7.6). При этом накладываются когерентные световые лучи, отраженные от границ раздела воздух-пленка ( ) и пленка-стекло ( ). Толщину пленки d и показатели преломления стекла и пленки n можно подобрать так, чтобы интерферирующие в отраженном потоке лучи гасили друг друга. Обычно толщина просветляющего слоя составляет
падающей световой волны. Тогда оптическая разность хода отраженных
лучей равна , что соответствует условию минимума при интерференции. В результате достигается четкое изображение, и уничтожаются блики.
Добиться одновременного гашения в отраженном свете всех длин волн
невозможно, поэтому это делают для волн с (наиболее восприимчивой глазом длины волны). В связи с этим объективы с просветленной
оптикой имеют синевато-фиолетовый оттенок.

.

S

Э

Рис. 7.7

Просветляющие покрытия наносятся на поверхности линз или призм
путем их химической обработки (травление в кислоте), нанесением пленок фторидов при испарении в вакууме или механически.

3. Для определения показателя преломления прозрачного вещества используются интерференционные рефрактометры (рис.7.7). На пути интерферирующих лучей помещаются две одинаковые кюветы 1 и 2 длиной l: одна заполнена газом с известным показателем преломления , а другая – с неизвестным . В результате возникает оптическая разность хода лучей

которая приводит к сдвигу интерференционных полос на экране. Зная, на какую часть ширины интерференционной полосы m сместилась интерференционная картина, находят неизвестный показатель преломления вещества:

Тема 22. Дифракция света

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью. Вследствие дифракции волны могут проникать через небольшие отверстия в экранах, огибать контуры непрозрачных предметов (попадать в область геометрической тени). Дифракцию можно наблюдать для волн любой природы, в том числе и механических (например, звук хорошо слышен за углом дома). Впервые явление дифракции научно описал и дал ему название Ф. Гримальди (1618-1663).

Для наблюдения явления дифракции света необходимо выполнение специальных условий, так как масштабы этого явления сильно зависят от соотношения размеров препятствия и длины волны. При длине волны, сравнимой с размерами препятствия, дифракция выражена очень сильно; в случае, если значительно меньше размеров препятствия, дифракция выражена слабо, то есть свет распространяется прямолинейно.

Первым явление дифракции попытался объяснить Х. Гюйгенс, выдвинув в 1690 г. принцип построения волнового фронта (принцип Гюйгенса): каждая точка, до которой доходит волновое возмущение, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени (рис. 7.8). В качестве примера рассмотрим плоскую волну, падающую нормально на отверстие в непрозрачном экране (рис. 7.9). Каждая точка приходящегося на отверстие волнового фронта является источником вторичной волны. Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, убедимся, что фронт волны заходит в область геометрической тени, то есть свет огибает края отверстия.

Рис. 7.8

Рис. 7.9

.

.

.

.

.

.

.

.

S

.

.

.

.

.

Э

В 1816 г. О. Френель сделал принцип Гюйгенса физически более содержательным, дополнив его положением об интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновое возмущение в любой точке пространства является результатом интерференции вторичных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности.

Для того чтобы определить результат дифракции (амплитуду световых колебаний) в некоторой точке пространства, Френель предложил разбивать волновую поверхность на отдельные участки (зоны Френеля) так, чтобы волны, посылаемые двумя соседними зонами в данную точку, приходили в противофазе. Таким образом, световые колебания, возбуждаемые
в данной точке пространства двумя соседними зонами, противоположны по фазе и при наложении должны взаимно ослаблять друг друга.

.

.

М

S

Ф

Рис. 7.10

Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде от точечного источника S (рис. 7.10). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием
фиктивных (вторичных) источников, расположенных на волновой поверхности Ф (поверхности сферы радиуса с центром S). Амплитуда волны в точке М определяется результатом интерференции волн от вторичных источников, то есть необходимо сложить когерентные колебания, возбуждаемые всеми фиктивными источниками на волновой поверхности. Так как расстояния от них до точки М различны, то колебания будут приходить в различных фазах. Наименьшее расстояние от точки М до волновой поверхности равно b. Первая зона Френеля ограничивается точками волновой поверхности,
расстояния от которых до точки М равны . Границы второй зоны Френеля определяются соотношением и т. д. Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на , то в точку М они приходят в противофазе, и наблюдается интерференционный минимум. Поэтому амплитуда результирующего колебания в рассматриваемой точке

(7.3)

где – амплитуды колебаний, возбуждаемых соответственно первой, второй, …, m-зонами.

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере очень велико, поэтому приближенно можно считать, что амплитуда колебаний от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон

Тогда выражение (7.3) можно записать в виде

(7.4)

Полученный результат показывает, что амплитуда результирующего светового колебания определяется действием только половины центральной зоны Френеля (все остальные вторичные волны гасятся в результате интерференции). Следовательно, распространение света от источника S к точке М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, то есть прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.

Поместим теперь на пути сферической волны, распространяющейся от точечного источника S, препятствие в виде непрозрачной пластины с круглым отверстием (дифракция на круглом отверстии). Для наблюдения дифракционной картины параллельно плоскости отверстия на расстоянии b расположен экран (рис. 7.11).

b

Э

М

.

S

Рис. 7.11 большим числом штрихов на единицу длину). одом шеток с малым периодом. дит интерференция волн, дифрагировавших на щелях, что7.11

Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся на ширине отверстия. Амплитуда результирующего светового колебания, возбуждаемого в точке М всеми зонами

где знак «плюс» соответствует нечетному числу m зон Френеля, знак «минус» – четному числу зон Френеля.

Когда отверстие открывает нечетное число зон
Френеля, то амплитуда результирующего колебания (интенсивность света) в точке М будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное – то амплитуда будет равна нулю. Если в отверстие укладывается одна зона Френеля, то в точке М
амплитуда , то есть вдвое больше, чем при отсутствии препятствия [см. формулу (7.4)]. Таким образом, дифракционная картина от круглого
отверстия вблизи точки М будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М: если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное – светлое кольцо, причем интенсивность убывает с увеличением расстояния от центра картины.

Дифракция на щели плоских световых волн. Пусть на узкую щель шириной , расположенную в непрозрачной преграде, нормально падает
плоская монохроматическая световая волна (рис. 7.12). За щелью помещена собирающая линза, в фокальной плоскости которой расположен экран для наблюдения дифракционной картины.

По принципу Гюйгенса-Френеля освещенная щель является источником вторичных световых когерентных волн, распространяющихся по всем направлениям и способных интерферировать друг с другом.

Рассмотрим направление, параллельное главной оптической оси линзы Л и совпадающее с направлением падающей волны ( ). Линза соберет световые лучи этого направления в своем главном фокусе F. Все эти лучи до точки F проходят одинаковые оптические пути, поэтому в нее они придут в одинаковой фазе и, интерферируя, усилят друг друга. Следовательно,
в главном фокусе линзы всегда наблюдается максимум интенсивности I
света, который имеет вид ярко освещенной полосы, параллельной щели.

D

N

a

C

F

M

I

0

Э

Рис. 7.12

Л

Рассмотрим теперь лучи, идущие под углом к первоначальному
направлению распространения волны. Эти лучи линза соберет в точке М. Чтобы узнать, каков результат интерференции вторичных волн в данном случае, сделаем следующие построения. Проведем перпендикуляр DC
к направлению распространения вторичных волн. Тогда оптическая разность хода между лучами, идущими от крайних точечных источников D и N, равна

Далее воспользуемся методом зон Френеля. Для определения числа зон Френеля на участке разобьем его на отрезки, равные половине длины волны λ/2, и через точки разбиений проведем плоскости, параллельные DC. Эти плоскости разделят щель
на зоны Френеля, которые в данном случае представляют собой полоски, параллельные краям щели.

Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны и угла ( ). В свою очередь, от числа зон Френеля зависит результат наложения всех вторичных волн. Если число зон Френеля четное, то есть выполняется условие

(7.5)

то в точке М наблюдается дифракционный минимум (вторичные волны, идущие от двух соседних зон, погасят друг друга).

В направлениях, которым соответствует нечетное число зон Френеля, укладывающихся в щели, то есть при выполнении условия

(7.6)

наблюдается дифракционный максимум, обусловленный действием одной некомпенсированной зоны Френеля.

Из условий (7.5) и (7.6) можно найти направления лучей на точки экрана, в которых интенсивность света равна нулю

(7.7)

или максимальна

(7.8)

Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие
дифракции, называют дифракционным спектром. При неизменной ширине щели максимумы интенсивности света различной длины волны приходятся на различные углы. Если щель освещать белым светом, то центральный (нулевой) максимум будет белым, а по обе стороны от него расположатся цветные максимумы первого порядка: согласно (7.8) красный свет ( ) отклонится на больший угол, чем фиолетовый ( ). Между ними расположатся остальные цвета спектра.

Дифракционная решетка. Использование дифракции света на одной
щели затруднено из-за слабой видимости дифракционной картины. Поэтому
в практических целях применяется специальное устройство – дифракционная решетка.

Дифракционная решетка – спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длины световой волны. Простейшая одномерная решетка представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных препятствий и щелей на металлической или стеклянной пластинке (лучшие металлические решетки имеют до 2000 штрихов на один миллиметр поверхности, общая длина решетки составляет 100-150мм).

Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина называется периодом или постоянной дифракционной решетки.

D

N

C

a

b

d

Э

М

Л

F

Рис. 7.13

Дифракционная картина на решетке определяется как результат интерференции волн, идущих от всех щелей (многолучевая интерференция света).

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально плоскости решетки (рис. 7.13). Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разность хода лучей,
идущих от двух соседних щелей, будет для данного направления одинакова в пределах всей дифракционной решетки:

В направлениях (то есть для таких углов φ), в которых световые волны ни от одной из щелей не распространяются (свет от разных частей каждой щели полност