Вопрос 3. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Как известно, общее решение этого уравнения состоит из двух решений:

общего решения однородного дифференциального уравнения вида (2.9) и

частного решения неоднородного дифференциального уравнения (2.20).

Первое слагаемое быстро затухает, его время релаксации τ = 1/β. Поэтому при вклад в решение (2.20) дает только частное решение (второе слагаемое). Поэтому вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

q = q_mcos(ωt - ψ). (2.21)

Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты ω.

Выражение для силы тока можно записать также в виде

I = I_m cos(ωt - φ), (2.22)

где φ = ψ – π/2 –сдвиг по фазе между током в контуре и приложенным напряжением, а

tgφ = tg(ψ – π/2) = –1/tgψ = (ωL –1/ωC)/R. (2.23)

Разделив выражение (2.21) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

U_C = (q_m/C) cos(ωt - ψ) = U_Cmcos(ωt – φ –π/2), (2.24)

где

U_Cm = q_m/C = U_m/ωC = I_m/ωC. (2.25)

Умножив производную функции (2.22) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

U_L = L(dI/dt) = – ωLI_msin(ωt – φ) = U_Lmcos(ωt – φ + π/2), (2.26)

где U_Lm = ωLI_m.

Выражение (2. 20) можно представить в виде

, (2.27)

где , , – соответственно напряжения на активном сопротивлении R, на конденсаторе С и на индуктивности L. Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени внешнему напряжению (рис. 2.5).

Сравнивая (2.22), (2.24) и (2.26) видим, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от силы тока в контуре на π/2, а напряжение на катушке индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов (рис. 2.6). Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание переменного электрического тока с частотой ω в цепи, содержащей L, C и R.

Рис. 2.6

Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колеблющейся величины, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания. В качестве таковой возьмем ось токов. Тогда получится диаграмма, приведенная на рис. 2.6. Согласно (2. 27) величины где , и в сумме должны быть равны приложенному напряжению U. В соответствии с этим напряжение U на рис. 2.6 изображается вектором, равным сумме векторов , и .