Вопрос 3. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

 

Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника, чтобы компенсировать потери на джоулево тепло, оказывая внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (ε = ε0cosωt)или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = Umcosωt) (рис. 2.5).

 

Рис. 2.5

 

Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.

Эту э.д.с. нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (2.3) примет вид

 

Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = Umcosωt (2.20)

 

дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.

Как известно, общее решение этого уравнения состоит из двух решений:

общего решения однородного дифференциального уравнения вида (2.9) и

частного решения неоднородного дифференциального уравнения (2.20).

Первое слагаемое быстро затухает, его время релаксации τ = 1/β. Поэтому при вклад в решение (2.20) дает только частное решение (второе слагаемое). Поэтому вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

 

q = qmcos(ωt - ψ). (2.21)

 

Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (2.21), где ψ – сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а

 

tg ψ = R/(1/ωCωL).

 

Продифференцировав выражение (2.21) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях

 

I = - ωqm sin(ωt - ψ) = Im cos(ωt - ψ + π/2),

где амплитуда силы тока в контуре

,

RL = ωLреактивное индуктивное сопротивление,

RC = 1/ωCреактивное емкостное сопротивление,

Х=ωL – 1/ωCреактивное сопротивление,

 

Z=

 

полное (эффективное) сопротивление электрической цепи (колебательного контура).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты ω.

Выражение для силы тока можно записать также в виде

 

I = Im cos(ωt - φ), (2.22)

 

где φ = ψ – π/2 –сдвиг по фазе между током в контуре и приложенным напряжением, а

 

tgφ = tg(ψ – π/2) = –1/tgψ = (ωL –1/ωC)/R. (2.23)

 

Разделив выражение (2.21) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

 

UC = (qm/C) cos(ωt - ψ) = UCmcos(ωtφ –π/2), (2.24)

где

UCm = qm/C = Um/ωC = Im/ωC. (2.25)

 

Умножив производную функции (2.22) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

 

UL = L(dI/dt) = – ωLImsin(ωt – φ) = ULmcos(ωtφ + π/2), (2.26)

 

где ULm = ωLIm.

 

Выражение (2. 20) можно представить в виде

 

, (2.27)

где , , – соответственно напряжения на активном сопротивлении R, на конденсаторе С и на индуктивности L. Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени внешнему напряжению (рис. 2.5).

Сравнивая (2.22), (2.24) и (2.26) видим, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от силы тока в контуре на π/2, а напряжение на катушке индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов (рис. 2.6). Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание переменного электрического тока с частотой ω в цепи, содержащей L, C и R.

 

Рис. 2.6

 

Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колеблющейся величины, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания. В качестве таковой возьмем ось токов. Тогда получится диаграмма, приведенная на рис. 2.6. Согласно (2. 27) величины где , и в сумме должны быть равны приложенному напряжению U. В соответствии с этим напряжение U на рис. 2.6 изображается вектором, равным сумме векторов , и .






Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 2710; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.022 сек.