Вопрос 2. Свободные затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R ≠ 0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение β = R/2L,где β – коэффициент затухания, тогда уравнение (2.3) можно переписать следующим образом

d²q/dt² + 2βdq/dt + ω₀²q = 0. (2.9)

(2.9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний,

решение которого для заряда q при условии, что β<ω₀, имеет вид

q = q_m e^-βtcos(ωt + α), (2.10)

где − частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что ω<ω₀. Таким образом, потери энергии в контуре приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для ω₀ и β, получим

. (2.11)

При R = 0 выражение (2.11) переходит в (2.4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора с периодом Т = 2π/ω и убывающей амплитудой и колебания силы тока в контуре представлены на рис.2.3, на котором показано затухание свободных колебаний в RLC- контуре.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации , т.е. промежутком времени, в течение которого амплитуда колебаний заряда в контуре уменьшается в раз:

τ = 1/β = 2L/R.

Таким образом, индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

t

Рис.2.3

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

I = dq/dt = q_m e^-βt[-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].

Это выражение можно преобразовать к виду

I = I_me^-βtcos(ωt + α +Δ). (2.12)

Из (2.12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухающие колебания представляют собой, вообще говоря, непериодические колебания, так как в этом случае не повторяются максимальные значения заряда, силы тока и напряжения. Однако если затухание мало, можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между, например, двумя последовательными максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний определяется выражением:

,

т.е. . Здесь величины и называют условным периодом и условной циклической частотой затухающих колебаний. Из формулы следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При β = ω₀ период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При β > ω₀ движение носит апериодический (непериодический) характер, т.е. выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания