Вопрос 2. Свободные затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R ≠ 0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение β = R/2L,где βкоэффициент затухания, тогда уравнение (2.3) можно переписать следующим образом

 

d2q/dt2 + 2βdq/dt + ω02q = 0. (2.9)

 

(2.9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний,

решение которого для заряда q при условии, что β<ω0, имеет вид

 

q = qm e-βtcos(ωt + α), (2.10)

 

где − частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что ω<ω0. Таким образом, потери энергии в контуре приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для ω0 и β, получим

 

. (2.11)

 

При R = 0 выражение (2.11) переходит в (2.4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора с периодом Т = 2π/ω и убывающей амплитудой и колебания силы тока в контуре представлены на рис.2.3, на котором показано затухание свободных колебаний в RLC- контуре.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации , т.е. промежутком времени, в течение которого амплитуда колебаний заряда в контуре уменьшается в раз:

τ = 1/β = 2L/R.

 

Таким образом, индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

 

t

Рис.2.3

 

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

 

I = dq/dt = qm e-βt[cos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].

 

Это выражение можно преобразовать к виду

 

I = Ime-βtcos(ωt + α +Δ). (2.12)

 

Из (2.12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухающие колебания представляют собой, вообще говоря, непериодические колебания, так как в этом случае не повторяются максимальные значения заряда, силы тока и напряжения. Однако если затухание мало, можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между, например, двумя последовательными максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний определяется выражением:

,

 

т.е. . Здесь величины и называют условным периодом и условной циклической частотой затухающих колебаний. Из формулы следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При β = ω0 период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При β > ω0 движение носит апериодический (непериодический) характер, т.е. выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

 

λ = ln [a(t)/a(t+T)] = βT, (2.13)

 

где a(t) – амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что λ = 1/Ne, где Ne − число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, см. (28.12) в [4].

Подставив в (2.13) значение для β = R/2Lи Т=2π/ω, получим

 

λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/, (2.14)

 

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура.

Если затухание невелико (β<<ω0), то в (2.14) можно считать ωω0 =

1/ . Тогда

λ ≈ (πR/L = πR .

 

Величину , которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлениемRволн , т.е. Rволн = .

Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностьюQ, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

 

Q = π/λ = πNe.(2.15)

 

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

 

. (2.16)

 

При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет, а добротность контура уменьшается и при β2ω02вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора (рис. 2.4).

 

Рис. 2.4

 

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rk определяется условием

 

Rk2/4L2 = 1/LC, (2.17)

откуда

Rk = 2 = 2 Rволн. (2.18)

 

Таким образом, условие возможности колебаний в контуре записывается в виде:

R < 2 = Rk. (2.19)

 






Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 2334; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.029 сек.