Вопрос 2. Свободные затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

<4 5 678 9 10 >

Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R ≠ 0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение β = R/2L,где β – коэффициент затухания, тогда уравнение (2.3) можно переписать следующим образом

d²q/dt² + 2βdq/dt + ω₀²q = 0. (2.9)

(2.9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний,

решение которого для заряда q при условии, что β<ω₀, имеет вид

q = q_m e^-^βtcos(ωt + α), (2.10)

где − частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что ω<ω₀. Таким образом, потери энергии в контуре приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для ω₀ и β, получим

. (2.11)

При R = 0 выражение (2.11) переходит в (2.4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора с периодом Т = 2π/ω и убывающей амплитудой и колебания силы тока в контуре представлены на рис.2.3, на котором показано затухание свободных колебаний в RLC- контуре.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации , т.е. промежутком времени, в течение которого амплитуда колебаний заряда в контуре уменьшается в раз:

τ = 1/β = 2L/R.

Таким образом, индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

Рис.2.3

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

I = dq/dt = q_m e^-^β^t[-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].

Это выражение можно преобразовать к виду

I = I_me^-βtcos(ωt + α +Δ). (2.12)

Из (2.12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухающие колебания представляют собой, вообще говоря, непериодические колебания, так как в этом случае не повторяются максимальные значения заряда, силы тока и напряжения. Однако если затухание мало, можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между, например, двумя последовательными максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний определяется выражением:

т.е. . Здесь величины и называют условным периодом и условной циклической частотой затухающих колебаний. Из формулы следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При β = ω₀ период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При β > ω₀ движение носит апериодический (непериодический) характер, т.е. выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

λ = ln [a(t)/a(t+T)] = βT, (2.13)

где a(t) – амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что λ = 1/N_e, где N_e − число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, см. (28.12) в [4].

Подставив в (2.13) значение для β = R/2Lи Т=2π/ω, получим

λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/Lω, (2.14)

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура.

Если затухание невелико (β<<ω₀), то в (2.14) можно считать ω ≈ ω₀ =

1/ . Тогда

λ ≈ (πR/L)· = πR .

Величину , которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлениемR_волн , т.е. R_волн = .

Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностьюQ, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

Q = π/λ = πN_e_.(2.15)

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

. (2.16)

При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет, а добротность контура уменьшается и при β² ≥ ω₀²вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления R_k определяется условием

R_k²/4L² = 1/LC, (2.17)

откуда

R_k = 2 = 2 R_волн. (2.18)

Таким образом, условие возможности колебаний в контуре записывается в виде:

R < 2 = R_k. (2.19)

<4 5 678 9 10 >

Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 2885;