Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Два события A и B называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называют зависимыми.

Определение 2. Пусть A и B – зависимые события. Условной вероятностью события B называют вероятность события B, найденную в предположении, что событие A уже наступило.

Если события A и B независимы, то .

Теорема 1.Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

(1)

Доказательство: самостоятельно

Пример. В ящике находятся 2 белых и 2 чёрных шара. Вынули два шара (вынутый в первом испытании шар не возвращается обратно в ящик). Какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?

A - событие, состоящее в том, что первый раз вынули белый шар;

B - событие, состоящее в том, что второй раз вынули белый шар, при условии, что в первый раз тоже был вынут белый шар

По теореме 1 получаем: .

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

(2)

Доказательство: Так как A и B – независимые события, то и из формулы (1) получается формула (2).

Пример. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин p=0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся два организма. Какова вероятность того, что через 20 мин они будут живы?

Событие A – первый организм жив через 20 мин;

событие B – второй организм жив через 20 мин.

Будем считать, что события A и B независимы. Тогда вероятность события AB, состоящего в том, что оба организма живы, вычисляется по формуле (2):

.