Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Определение 1. Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B.

Аналогично, суммой конечного числа событий называют событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .

Определение 2. Произведением событий A и B называется событие C=AB, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B.

Аналогично, произведением конечного числа событий называют событие , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство:

Используем классическое определение вероятности. Пусть в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию A благоприятствуют k элементарных событий, событию B – l элементарных событий, событию A+B – k+l элементарных событий (так как события A и B - несовместимые). Тогда по определению вероятности:

; ; .

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий A и равна единице:

.

Доказательство:

События A и несовместимы. Применим доказанную теорему:

,

но , так как событие является достоверным (одно из событий A или произойдёт). Тогда .

Пример. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают одну астру?

A - событие, состоящее в том, что срывают красную астру;

B - событие, состоящее в том, что срывают синюю астру.

; ;