Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определённого типа можно составить из данных предметов (элементов).

Определение 1. Размещениями из n различных элементов по m элементов ( ) называют комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Пример. Из трёх элементов a, b, c можно составить следующие размещения по два элемента: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

Число различных размещений без повторений из n элементов по m элементов определяется по формуле:

.

Размещения с повторениями (n различных элементов, элементы могут повторяться):

.

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р.Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

1) Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

.

2) Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

Определение 2. Перестановками из n различных элементов называют размещения из этих n элементов по n.

Перестановки можно считать частным случаем размещений при m=n. Тогда число всех перестановок без повторений из n элементов вычисляется по формуле:

Перестановки с повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться раз и , где n – общее количество элементов):

.

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р.Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?

1) Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.

2) Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

Определение 3. Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не учитывается порядок элементов.

Число сочетаний без повторений из n различных элементов по m элементов вычисляется по формуле:

.

Пример. В лабораторной клетке содержат трёх белых и трёх коричневых мышей. Найдите число способов выбора двух мышей, если они могут быть любого цвета.

m=2, n=6, тогда .

Сочетания с повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы могут повторяться):

.

Пример. Возьмем плоды: банан (Б),ананас (А) и репа(Р).Какие сочетания из этих плодов, взятых по два, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) плоды в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковых плода?

1) Получатся наборы: БА(«банан, ананас» и «ананас, банан» – один и тот же набор),АРи РБ.

.

2) Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

.

Задачи

1. В ящике 15 белых, 12 красных и 14 синих шаров. Вынули один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар красный.

2. В денежно-вещевой лотерее на серию из 1000 билетов приходится 3 денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

3. Бросается один раз игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет 1 или 5 очков?

4. В ящике 8 белых и 4 синих шара. Вынули сразу 2 шара. Определить вероятность того, что все шары синие?

5. В коробке 20 ламп - 18 исправных и 2 бракованных. Из коробки вынимают 3 лампы. Какова вероятность того, что все они исправные?

6. Бросается один раз игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет 1 или 5 очков?

7. Сколько различных слов можно получить перестановками всех букв в слове ЖУК?

8. Сколько различных слов можно получить перестановками всех букв в слове МАТЕМАТИКА?

9. Сколькими способами из 5 шаров можно выбрать 2?

10. Сколькими способами из 10 студентов можно выбрать 3 делегатов на конференцию?