Производная по направлению

Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого , и . Ha векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку .

Длина вектора равна: .

Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. В этом случае ее полное приращение представимо в виде:

, (1)

где , и стремятся к нулю при . Разделим все члены равенства (1) на :

.

Очевидно, что , , .

Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

. (2)

Определение. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т. е. .

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим:

.

Величина характеризует скорость изменения функции в точке по выбранному направлению . Если , то функция в точке по направлению возрастает, в противном случае – убывает.

Отметим, что для функции двух переменных производная по направлению будет равна

.

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора :

, , .

Частные производные , ,

в точке будут , , .

Следовательно, .

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка .

Решение. Вектор имеет координаты: , длина вектора равна: .

Найдем направляющие косинусы вектора :

, .

Частные производные , .

в точке будут , .

Следовательно, .

Градиент функции

В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению.

Теорема. Пусть дано скалярное поле и определено в этом скалярном поле поле градиентов .

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора на вектор .

Доказательство. Рассмотрим единичный вектор , соответствующий вектору :

.

Вычислим скалярное произведение векторов и :

.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции по направлению вектора . Следовательно, справедливо

.

Если обозначим угол между векторами и через ,то можем написать:

или .

Теорема доказана.

На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. Установим некоторые свойства градиента:

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

Замечание. Если функция есть функция двух переменных, то вектор

направлен перпендикулярно к линии уровня , лежащей в плоскости и проходящей через соответствующую точку.

Пример. Определить градиент функции в точке .

Решение.Частные производные

,

в точке будут равны

, .

Следовательно,

.