Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных и : , . Тогда — сложная функция двух независимых переменных и , а переменные и — промежуточные аргументы.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функции и дифференцируемы в точке D , то сложная функция , где ; , дифференцируема в точке D , причем ее частные производные вычисляются по формулам:
, .
Доказательство. Докажем первую из формул. В точке переменной дадим приращение , сохранив постоянной. Тогда функции и получат частные приращения , , а функция — полное приращение (так как и — приращения по обоим промежуточным аргументам). Функция дифференцируема в точке , поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде
.
Разделим данное равенство на :
(1)
Если , то и в силу непрерывности функций и ,
, .
Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что
, имеем
.
Аналогично
.
Теорема доказана.
Рассмотрим функцию трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных , , : , , . Тогда функция является сложной функцией трех независимых переменных , , , а переменные , , называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:
,
,
.
Пример.Вычислить частные производные сложной функции двух переменных , где ; .
Решение. Найдем частные производные
, , , , , . Следовательно,
.
Найдем теперь полный дифференциал сложной функции в точке . Подставим выражения и в формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных
. (2)
Получим
или
Так как , , то
. (3)
Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли и независимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 316;